Как симметрия может защитить количество?

Мы имеем в виду, что определенные операторы запрещены симметрией или приводят к определенным формам радиационной поправки.

Например, киральная симметрия

$$\psi\to e^{i\theta \gamma_5}\psi$$ запретил бы фермионные массы на уровне дерева. Даже если бы присутствовала фермионная масса, нарушающая симметрию, симметрия в $m\to0$ограничение гарантировало бы, что радиационные поправки (и бета-функции) были пропорциональны массе, $$\Delta m\propto m.$$ Таким образом, масса защищена от поправок от других шкал массы в теории, $$\Delta m \not\propto M$$ Это желательно, поскольку нам нужно, чтобы, например, электроны были намного легче планковского масштаба и не хотели $\Delta m_e \propto M_P$.

Скаляры, такие как бозон Хиггса, не защищены никакими симметриями, что приводит к

$$\Delta m_h^2 \sim M_P^2$$ Это пресловутая проблема иерархии.

Масса Дирака фермионов и массивных калибровочных бозонов не может принимать произвольные значения в Стандартной модели, потому что любая масса Дирака проецируется$SU(2)_L\times U(1)_Y$симметрия. Только нарушение этой симметрии придает этим частицам массу. Массы всех частиц определяются масштабом нарушения симметрии.

Это не так, например, правокиральная масса Майорана для нейтрино$M_\nu \overline{(\nu_R)^c}\nu_R+h.c.$(Обратите внимание, что, в отличие от любой дираковской массы, этот член является калибровочным синглетом).

Правосторонний массовый член Майораны не защищен какой-либо симметрией, т. е. этот массовый член не нарушается.$SU(2)_L\times U(1)_Y$симметрия. Следовательно, голый массовый член Майораны со сколь угодно большим значением может быть записан даже в лагранжиане древесного уровня (для Стандартной модели, дополненной правыми нейтрино).