Как следует относиться к понятию собственной функции в квантовой механике?

Question

Как следует относиться к понятию собственной функции в квантовой механике?

Митчелл Фаас

Сегодня я решал некоторые проблемы и наткнулся на это:

Рассмотрим частицу в бесконечно глубокой потенциальной «яме». То есть: $V(x) = 0$ для $-a/2<x<a/2$ и $V(x)=\infty$ где-нибудь еще.

Покажите, что функции $\psi_n(x) = A_n \cos(n\pi x/a)$ являются собственными функциями и определяют собственное значение.

Теперь из того, что я раньше думал, что знаю о собственных функциях, так это то, что любая собственная функция оператора - это просто функция $f$ так что оператор ( $\hat{V}$ ) в этом случае работа над этой функцией возвращает скаляр, кратный функции:

\hat{В} ф "=" λ ф .

$\hat{V}f = \lambda f.$ Но при попытке сделать это здесь, это не работает. С

A_{n}

$A_n$ просто константа, и

\cos (n π x / a)

$\cos(n\pi x/a)$ обязательно будет ненулевым где-то с

x > a / 2

$x>a/2$ , вернуть «хороший» косинус невозможно; даже не с собственным значением

λ = 0

$\lambda=0$ .

Тогда мой вопрос таков: где-то в моих рассуждениях я, должно быть, делаю ошибку, и я подозреваю, что это связано с тем, как я смотрю на собственные функции. Предполагая это, как я должен смотреть на них вместо этого?

CDCM

Ваша интерпретация в порядке, просто вы используете неправильный оператор. Он просит вас указать собственные функции энергии, то есть собственные функции оператора Гамильтона.

Митчелл Фаас

Как я могу увидеть, что имеется в виду собственная функция энергии?

CDCM

Да вопрос был немного коряво написан. Но в КМ один из самых общих вопросов: у меня есть потенциал, каковы собственные функции гамильтониана с этим потенциалом? Их знание говорит нам, например, об уровнях энергии, а позже о том, как эти состояния развиваются во времени. Короче говоря, собственные функции гамильтониана имеют большое значение, поэтому я догадался, что они просят именно об этом.

Ответы (1)

Как следует относиться к понятию собственной функции в квантовой механике?

Ваша интерпретация в порядке, просто вы используете неправильный оператор. Он просит вас указать собственные функции энергии, то есть собственные функции оператора Гамильтона.
Как я могу увидеть, что имеется в виду собственная функция энергии?
Да вопрос был немного коряво написан. Но в КМ один из самых общих вопросов: у меня есть потенциал, каковы собственные функции гамильтониана с этим потенциалом? Их знание говорит нам, например, об уровнях энергии, а позже о том, как эти состояния развиваются во времени. Короче говоря, собственные функции гамильтониана имеют большое значение, поэтому я догадался, что они просят именно об этом.

Эмилио Писанти · Answer 1

Язык цитируемого вами набора оставляет желать лучшего. Для кого-то с разумным знанием QM ясно, каково было намерение, но оно все еще сформулировано двусмысленно, и автор виноват в любой путанице, которая возникает.

Чтобы было ясно, цитата просит вас показать, что данная волновая функция является собственной функцией гамильтониана , то есть оператора

ЧАС "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{д^{2}}{д {Икс}^{2}} + В (Икс),

$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + V(x),$ для заданного потенциала. Это подразумевается контекстом, но не указано явно (там, где это потребовало бы дополнительного слова или двух).

Тем не менее, волновая функция, которую вам дали, действительно является собственной функцией потенциального оператора $\hat V$ , так как для всех $x$ в пространстве конфигурации $[-a/2,a/2]$ у вас есть

В (Икс) ψ (Икс) "=" 0 "=" 0 ψ (Икс),

$V(x) \psi(x)=0 = 0\psi(x),$ т.е. волновая функция возвращается к самой себе, умноженной на собственное значение

λ = 0

$\lambda=0$ .

Задача, в частности, не очень хороша, предлагая пространство конфигурации только $[-a/2, a/2]$ .

Как следует относиться к понятию собственной функции в квантовой механике?

Митчелл Фаас

CDCM

Митчелл Фаас

CDCM

Ответы (1)

Эмилио Писанти

оставленный вокруг

Мнимое собственное значение эрмитова оператора

Коллапс волновой функции к ее собственной функции при измерении

Правильно ли я говорю, что лестничные операторы имеют комплексные собственные значения?

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Почему при обобщении дискретных (но бесконечных) собственных состояний на непрерывные собственные состояния мы меняем определение?

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Возможна ли непрерывная эволюция от одного собственного состояния ООО оператора к другому ООО-собственному состоянию?

Уравнение Шрёдингера в позиционном представлении

Собственные значения бесконечномерной матрицы [дубликат]