Почему реальный скаляр не может соединиться с электромагнитным полем?

Тот факт, что теория не является калибровочно-инвариантной, означает, что все степени свободы$A_\mu$должен иметь физический смысл: это не теория фотонов, где имеют смысл только поперечные степени свободы. Таким образом, вы должны решить какую-то нетривиальную проблему, например, отрицательную норму, связанную с темпоральными модусами. Этого можно было бы избежать, добавляя массу к$A_\mu$и вращение$1$(вместо спиральности) к ассоциированным частицам. Однако, опять же, это не электромагнитное поле.

ПРИЛОЖЕНИЕ . На самом деле, если мы добавим массу к$A_\mu$и мы предполагаем, что поле описывает частицы со спином$1$(избегая проблем с временными модами) условие$\partial_\mu A^\mu =0$должен быть добавлен только для того, чтобы удалить степень свободы (или даже автоматически, если используется действие Proca, наблюдаемое AccidentalFourierTransform). Это имеет разрушительное последствие, заключающееся в том, что лагранжиан взаимодействия становится граничным членом, т. е. обращается в нуль:

$$\int A_\mu \phi \partial^\mu \phi\,\mathrm d^4x = \frac{1}{2}\int \partial^\mu \left(A_\mu \phi^2\right)\,\mathrm d^4x$$ Я думаю, что у нас есть безнадежная теория с каждой точки зрения.

Рассмотрим скалярную электродинамику (электродинамику Клейна-Гордона-Максвелла) с лагранжианом:

$$\begin{eqnarray}\label{eq:pr6} -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}(\psi^*_{,\mu}-ieA_\mu\psi^*)(\psi^{,\mu}+ieA^\mu\psi)-\frac{1}{2}m^2\psi^*\psi \end{eqnarray}$$

и уравнения движения

$$\begin{equation}\label{eq:pr7} (\partial^\mu+ieA^\mu)(\partial_\mu+ieA_\mu)\psi+m^2\psi=0, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr8} \Box A_\mu-A^\nu_{,\nu\mu}=j_\mu, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr9} j_\mu=ie(\psi^*\psi_{,\mu}-\psi^*_{,\mu}\psi)-2e^2 A_\mu\psi^*\psi. \end{equation}$$

Поле сложного заряженного вещества$\psi$можно сделать реальным калибровочным преобразованием (хотя бы локально), а уравнения движения в соответствующей калибровке (унитарной калибровке) для преобразованного четырехпотенциала электромагнитного поля$B^{\mu}$и поле реальной материи$\varphi$являются следующими ($E.~Schr\ddot{o}dinger, {Nature}$, 169:538, 1952):

$$\begin{equation}\label{eq:pr10} \Box\varphi-(e^2 B^\mu B_\mu-m^2)\varphi=0, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr11} \Box B_\mu-B^\nu_{,\nu\mu}=j_\mu, \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq:pr12} j_\mu=-2e^2 B_\mu\varphi^2. \end{equation}$$

Шредингер сделал следующий комментарий: «То, что волновая функция ... может быть реализована путем изменения калибровки, является не чем иным, как трюизмом, хотя это противоречит широко распространенному мнению о« заряженных »полях, требующих сложного представления».

Эти уравнения движения могут быть получены из лагранжиана работы (T. Takabayasi (1953), Progr. Theor. Phys., 9 , 187):

$$\begin{equation}\label{eq:pr12a} -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{1}{2}e^2 B_\mu B^\mu \phi^2+\frac{1}{2}(\varphi_{,\mu}\varphi^{,\mu}-m^2\varphi^2). \end{equation}$$ Фактически он совпадает с предыдущим лагранжианом с точностью до замены комплексного скалярного поля вещественным. Любое решение уравнений движения для первого лагранжиана имеет физически эквивалентное решение уравнений движения для второго лагранжиана.

Я не рассматривал квантование здесь.

РЕДАКТИРОВАТЬ (10.02.2018):

Хочу добавить, что описанная выше система взаимодействия реального скалярного поля и электромагнитного поля обладает удивительными свойствами. Из уравнений движения видно, что реальное скалярное поле можно алгебраически исключить, и оказывается, что полученные уравнения для электромагнитного поля описывают его независимую эволюцию (моя статья в European Physical Journal C http://link.springer. com/content/pdf/10.1140%2Fepjc%2Fs10052-013-2371-4.pdf и ссылки там).

По-видимому, можно ввести и лоренц-инвариантный лагранжиан с высшими производными, не включающий поле материи, но во многом эквивалентный лагранжиану Такаябаяси (моя статья https://arxiv.org/abs/1006.2578 ; значение некоторые частные случаи, например,$\varphi=0$а также$B^\mu B_\mu=0$(см. ниже) неясно (разные частицы?)). С этой целью лагранжиан Такабаяси может быть выражен через$\Phi=\varphi^2$, скорее, чем$\varphi$, используя, например, следующее:

$$\begin{equation}\label{eq:pr16a} \varphi_{,\mu}\varphi^{,\mu}=\frac{1}{4}\frac{\Phi_{,\mu}\Phi^{,\mu}}{\Phi}, \end{equation}$$ а потом $\Phi$можно заменить следующим выражением, полученным из уравнений движения: $$\begin{equation}\label{eq:pr16b} \Phi=-\frac{1}{2e^2} \frac{B^\mu(\Box B_\mu-B^\nu_{,\nu\mu})}{B^\mu B_\mu}. \end{equation}$$

Таким образом, лагранжиан, включающий только электромагнитное поле, описывает практически ту же физику, что и скалярная электродинамика.