Теория возмущений предполагает, что у нас есть допустимое семейство моделей в некотором непрерывном (фактически бесконечно дифференцируемом) диапазоне некоторых параметров, т. е. констант связи. У нас есть некоторые специальные значения констант связи, характеризующие невозмущенную модель, которые, по-видимому, относительно легко решить. Мы также предполагаем, что семейство моделей плавно трансформируется под действием констант связи. Затем мы проводим анализ ряда Тейлора.
Но что, если ландшафт действительных моделей квантовой гравитации дискретен? Несмотря на то, что теория суперструн допускает модуль дилатона более 10 некомпактных измерений, как насчет ландшафта моделей, которые мы получаем после компактификации 6 пространственных измерений с ненулевыми потоками и некоторыми бранами и, возможно, некоторыми орбифолдингами? У нас все еще есть модули, когда суперсимметрия остается ненарушенной, но что насчет метастабильных состояний, в которых нарушается SUSY? Что такое ряд Тейлора дельта-функции Дирака?
Как насчет теории возмущений с точки зрения интегралов по траекториям? В интегралах по траекториям ограничение Уилера-ДеВитта проявляется в другом обличье как оператор проектирования. Мы начинаем с некоторых волновых функционалов, а затем берем функциональный интеграл по некоторому конечному интервалу времени T. В пределе, когда T стремится к бесконечности, у нас остается оператор проектирования, выделяющий решения WDW. Но что произойдет, если мы поменяем порядок, в котором мы возьмем предел константы связи, стремящейся к нулю, и T, стремящийся к бесконечности? Если спектр гамильтонового ограничения дискретен и зависит от константы связи, такой обмен не будет действительным! Это причудливый способ сказать, что для большинства вариантов констант связи оператор проектирования равен нулю.
Пертурбативное разложение общей теории относительности нарушается на двухпетлевом уровне: в эффективном действии появляется член, кубический по тензору Вейля, как показали Горофф и Саньотти, который имеет коэффициент УФ-расхождения и должен быть отменен контрусловием. Это также вводит новую неизвестную конечную связь с «действием больше не Эйнштейна-Гильберта». Из-за этого в конечном итоге получается бесконечное количество неизвестных связей и теряется предсказуемость.
Мы говорим, что общая теория относительности пертурбативно неперенормируема.
Это показывает, что должна быть новая физика, определяющая все неизвестные параметры физики низких энергий (и, как правило, добавляющая качественно новые явления и при высоких энергиях). Спектр возможностей задается «ландшафтом» струнной/М-теории. Все версии пространства Минковского, анти-де Ситтера или де Ситтера охватывают сложное множество со многими компонентами. Некоторые из этих компонентов являются дискретными; мы называем их стабилизированным вакуумом. У некоторых из них есть остаточные параметры — модули — и они очень интересны с математической точки зрения (обычно они вычислимы и часто имеют некоторую ненарушенную суперсимметрию), но неприемлемы феноменологически.
Только стабилизированный вакуум является реальным кандидатом на роль теории реального мира. Нестабилизированные нарушают принцип эквивалентности, допускают изменение постоянной тонкой структуры и подобных констант и приводят к новым, ненаблюдаемым дальнодействующим силам.
Однако вокруг каждого вакуума по-прежнему верно, что амплитуды могут быть разложены Тейлором по любой константе связи, которая оказывается слабой. Тот факт, что только одно значение константы связи — или скалярного поля, если мы находимся в гравитационном контексте — является правильным, рассматривается как существование потенциала для этого скалярного поля. Если мы окажемся вдали от минимума (или экстремума) этого потенциала, то для этого скалярного поля будут существовать ненулевые одноточечные функции, которые возвращают Вселенную к минимуму.
При правильном расчете амплитуды рассеяния являются аналитическими функциями векторов энергии-импульса «почти везде». Этот факт гарантируется локальностью (или даже приблизительной локальностью) физических явлений в пространстве-времени. Так что никаких дельта-функций здесь быть не может, кроме тех, которые накладывают законы сохранения.
Таким образом, действительно верно, что решения «пустого пространства» типа Минковского или анти-де-Ситтера существуют только для правильных значений связей, которые минимизируют потенциал; физический спектр состояний «пустого пространства» строго обращается в нуль вдали от правильного стабилизированного значения модулей. Но этот факт не следует рассматривать как разрыв в базовой математике. Вместо этого вы должны представить, что для неправильных значений констант связи существуют «аналогичные» решения, которые не являются «пустым пространством». Вместо этого в этих решениях скалярные поля колеблются вокруг своего предпочтительного значения, при котором потенциал минимизируется.
Состояния «не исчезают» при переходе к неверным значениям константы связи. Вместо этого они просто не могут быть трансляционно симметричными во времени. В этом смысле разрыва нет, и в расчетах физических амплитуд и других наблюдаемых никогда не используются дельта-функции скалярных полей.
Однако в гораздо более общем смысле, конечно, можно представить, что пертурбативные расширения нарушаются по многим известным и неизвестным причинам. Давно известно, что пертурбативные разложения в конечном счете расходятся; и в любом случае они не охватывают все физические явления. Если сложить члены до минимального (до того, как они снова начнут взрываться) в дивергентном разложении по константе связи, то минимальный член — неопределенность суммы — будет того же порядка, что и первые непертурбативные вклады амплитудам (различным инстантонам). Но попытки «более правильно резюмировать пертурбативные разложения» - не единственные методы приближения к непертурбативной физике.
С другой стороны, если бы пертурбативное разложение «качественно» терпело неудачу даже при очень малом значении константы связи, это, вероятно, доказывало бы несостоятельность теории. Этого не должно быть. Даже если бы это произошло в гипотетической теории, то надо было бы подумать, как эта теория позволяет что-то вычислить хотя бы в принципе - без этого о теории вообще не стоит говорить.
Теория возмущений для КГ терпит крах, как и для любой другой КТП: получаются бесконечные пертурбативные поправки. Единственная разница состоит в том, что UV-бесконечности в QG нельзя отбросить «непротиворечивым» образом. Они говорят, что QG «неперенормируем». Значит, ненормально изначально и ненормально после «репараций» (перенормировок).
Существует простой критерий для проверки обоснованности теории с физической и математической точек зрения. Этот критерий не очень популярен, но он обнаруживает ошибочность теории в первом борновском приближении, т. е. еще до встречи с бесконечностями. Этот критерий таков: если первое борновское приближение не может уловить процессы, вероятность которых равна единице (мягкое излучение), то вы получите взрыв пертурбативных поправок. Если кто-то упускает процессы, которые происходят всегда, он делает что-то довольно неправильное, и неудивительно, что пертурбативные поправки будут пытаться «жестоко исправить» это плохое начало: начальное приближение теории возмущений слишком далеко от точного решения и требует бесконечных поправок и их нелинейное суммирование для получения конечного результата.
Downvoters, если вы не согласны, дайте свои заявления о несогласии, пожалуйста.
Анна В