Как теорема о дивергенции оправдывает интегральную форму уравнения неразрывности?

Интуитивный способ думать об этом — рассмотреть газ внутри стеклянного контейнера (который не может расширяться). Если газ расширится , то что должно произойти в результате? Газ выходит из баллона. Точно так же, если я попытаюсь налить в контейнер больше газа , то газ сожмется .

Векторное поле $\mathbf F$это то, что мы используем, чтобы описать поток жидкости. Расходимость этого поля описывает расширение или сжатие газа. Теорема о дивергенции говорит о том, что полное расширение (или сжатие) газа в некотором объеме$V$равен потоку жидкости наружу (или внутрь) границы (т. е. сколько материала выходит (или входит) на поверхность$S$). Математически это

$$\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ где $\mathbf F\cdot d\mathbf S$представляет собой количество, нормальное к поверхности.

Итак, для объема массы$m$, скорость изменения массы во времени равна указанной выше (при условии отсутствия других источников материи):

$$\frac{\partial m}{\partial t}=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ что является нашей интегральной формулировкой уравнения неразрывности.

Поскольку мы знаем, что$m=\int\rho\,dV$, то приведенное выше

$$\frac{\partial}{\partial t}\int\rho\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ А поскольку временные и пространственные координаты ортогональны, мы можем поменять их местами, чтобы получить $$\int\frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ И, наконец, поскольку объем произвольный, то левые два слагаемых выше должны быть $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf F$$ что является нашей дифференциальной формой уравнения неразрывности.