Уравнение неразрывности в подходе лагранжевой картины потока

1. В лагранжевой картине потока ${\bf a}\equiv(a,b,c)$обычно обозначают непрерывные метки жидкой посылки , распределенные таким образом, что

   $$d(\text{mass})~=~da~db~dc,\tag{2.1}$$ ср. например, ссылка 1.

2. С другой стороны${\bf x}\equiv(x,y,z)$обычно обозначают координаты положения жидкой посылки. Поэтому массовая плотность становится

   $$\rho~=~ |\det\frac{\partial{\bf a}}{\partial{\bf x}} |.\tag{2.2}$$

3. Скорость потока определяется как

   $${\bf u}~\equiv~ \frac{d{\bf x}}{dt}.\tag{2.4}$$ Уравнение континуума масс следует в лагранжевой картине потока из $$\begin{align} -\frac{d\ln\rho}{dt}~=~&\frac{d}{dt}\ln |\det \frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf a}}|\cr ~=~&{\rm tr}\left( \frac{\partial{\bf a}}{\partial{\bf x}}\frac{d}{dt}\frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf a}}\right)\cr ~=~&{\rm tr}\left( \frac{\partial}{\partial{\bf x}}\frac{d{\bf x}}{dt}\right)\cr ~=~&{\bf \nabla}\cdot {\bf u}.\end{align} \tag{2.3}$$ Для несжимаемого потока плотность$\rho$постоянна вдоль течения жидкости.

Использованная литература:

1. Р. Сэлмон, Гамильтонова механика жидкости, Ann. Рев флюид. мех. (1988) 225 . Файл в формате pdf можно скачать с сайта автора .