Зависит ли определение сжимаемости от системы отсчета?

По мнению многих авторов, жидкость считается несжимаемой, если материальная производная плотности Д р Д т равна нулю, то есть в системе отсчета, следующей за движением воздушной посылки, плотность не меняется. Это, в свою очередь, означает, согласно уравнению неразрывности,

Д р Д т + р ∇ ⋅ В → "=" 0 ,

так что ∇ ⋅ В → "=" 0 . Все идет нормально.

Однако давайте рассмотрим простой случай в 1D, в котором плотность имеет вид р ( Икс , т ) "=" Икс − т и В → "=" ты Икс я ^ . Оба поля удовлетворяют уравнению неразрывности. Это становится более очевидным, если мы используем другую форму уравнения неразрывности,

∂ р ∂ т + ∇ ⋅ ( р В → ) "=" 0

Ясно, что для поля скоростей, которое я дал, ∇ ⋅ В → "=" 0 , а жидкость несжимаема, но, как мы видим, плотность меняется во времени и пространстве. Более того, в фиксированном положении (т.е. в стационарной системе отсчета) плотность будет меняться со временем.

Итак, зависит ли плотность от системы отсчета? Каково реальное определение сжимаемости в гидромеханике?

Ответы (3)

Определение несжимаемости состоит в том, что плотность жидкой массы (элемента объема) не изменяется (т. е. постоянна); это ваше первое уравнение:

Д Д т р ( Икс 0 , т ) "=" 0
что приводит к соленоидальной связи , ∇ ⋅ ты "=" 0 .

Что касается вашего «контрпримера», здесь нет проблем, потому что поле плотности может фактически меняться в пространстве и времени как в лагранжевой, так и в эйлеровой системе отсчета. Просто в первом случае вы отслеживаете эволюцию пакета жидкости с постоянной плотностью ( р ( Икс 0 , т ) ), а не отслеживать эволюцию сетки в последнем ( р ( Икс , т ) ).

Я понимаю ваши аргументы, но не вижу, как они опровергают справедливость моего контрпримера. Я понимаю весь смысл того, что означает сжимаемость, но я бы переопределил это следующим образом: жидкость несжимаема, если задано начальное распределение плотности, даже при котором плотность может меняться в пространстве (это то, что меня озадачивает, потому что тогда жидкость была бы сжимаемый), это распределение не меняется (т. е. плотность флюидной массы не меняется во времени). Я думаю, что это был бы лучший способ понять это.
Ваша проблема заключается в объединении двух кадров. Лагранжева система отсчета рассматривает эволюцию деформируемого объема постоянной плотности. Система Эйлера рассматривает эволюцию фиксированной сетки . Ваше определение по существу уже используется, если его правильно понять, в форме Д т р "=" 0 и как определено в моем ответе.
Обратите также внимание, что ваш «контрпример» работает только в том случае, если В "=" 1 , в противном случае он не удовлетворяет ни непрерывности, ни несжимаемости.
Думаю, я понимаю оба подхода: в лагранжевой системе вы движетесь вместе с жидкостью, а в эйлеровой системе вы остаетесь неподвижным в пространстве и наблюдаете, как жидкость движется мимо вас. На самом деле я имею в виду, что это в основном вопрос терминологии. Я лично считаю, что несжимаемость не должна использоваться в определении, потому что представление о несжимаемости у меня есть представление о чем-то постоянном как в пространстве, так и во времени, и я привел пример жидкости, несжимаемой по определению, но изменяющейся. в космосе в фиксированное время.
Кстати, не могли бы вы привести пример, когда это не сработает, если В ≠ 1 ?
@ alfdc80: Ваше определение несжимаемости - это не несжимаемость, а неподвижная жидкость. Несжимаемость просто означает, что плотность в фиксированном объеме постоянна. И любой В который не равен 1, вернет ненулевое значение по вашему выбору или р час о , вы пробовали использовать, скажем, 10? Потому что я получаю -9
Мое определение несжимаемости (чего-то, чья плотность постоянна как в пространстве, так и во времени) имеет название однородная несжимаемая жидкость, по крайней мере, так говорит Википедия. Я не совсем уверен, но я думаю, что стационарный поток означает, что поле скорости является только функцией положения, но не времени. Твое право. Любое V, отличное от 1, вернет ненулевое значение, и мой контрпример работает, только если В "=" 1 , но что вы хотите этим сказать?

Во всей классической физике принято считать, что наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета. Этот кадр представляет собой кадр, в котором объекты, на которые не действует никакая сила, движутся прямолинейно (или находятся в состоянии покоя). Если использовать неинерциальную систему отсчета, скажем, с постоянным ускорением, то законы физики примут другой вид.

Эйнштейн утверждал, что законы физики должны быть в общей ковариантной форме, так что не должно иметь значения, в какой системе отсчета человек находится.

Я думаю, ваша проблема в том, что, судя по тому, что вы сказали 26 апреля в 11:15, вы действительно не понимаете, что значит несжимаемый. Если у вас есть некоторое начальное неравномерное распределение р в пространстве это не означает, что распределение будет оставаться постоянным во времени, наоборот, чтобы значение плотности некоторой частицы (небольшой порции жидкости) оставалось постоянным во времени, вы должны следить за ним по мере его движения до понимаете, что оно остается постоянным, и при этом понимаете, что «постоянное» значение р назначается в разные места в разное время. Короче говоря, первоначальное неравномерное распределение в пространстве не останется неизменным во времени, потому что разные частицы несут с собой свои значения р как они двигаются. Чтобы ваш контрпример был общим, вы должны поставить р ( Икс , т ) "=" Икс − т ты Икс и это действительно хороший пример, а не "контрпример"

Еще хочу добавить замечание к ответу Кайла Каноса, я думаю, что в лагранжевой формулировке несравненность не допускает р меняться со временем

Мне кажется недостаточно понятной фраза "это распределение не меняется (т.е. плотность текучей массы не меняется во времени)" к моему комментарию от 26 апреля в 11:15. Под этим я подразумевал, что в системе отсчета, движущейся с той же скоростью, что и жидкость, плотность может изменяться в пространстве, но не во времени, следовательно Д р Д т "=" 0 , а жидкость по определению несжимаема.
Но, как вы сказали, если у вас есть некоторое начальное неравномерное распределение ρ в пространстве, это не означает, что распределение останется постоянным по времени, и мой пример (как и ваш тоже) является хорошим примером этого. Поэтому, я думаю, его не следует называть несжимаемым, хотя он им является по определению.
Более того, кажется, что определение зависит от системы отсчета. Если вы движетесь вместе с жидкостью, она не меняется со временем, если в какой-то момент оставаться неподвижной, она меняется.
Зависит ли определение сжимаемости от системы отсчета?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v