Z2Z2\mathbb Z_2 или ZZ\mathbb Z-инвариант для модели Су-Шриффера-Хегера (SSH)

Короткий ответ заключается в том, что это зависит от того, какую из симметрий вы применяете . Точнее, простая модель SSH имеет множество симметрий, и априори не ясно, какую из этих симметрий вы считаете «случайной», а какую — «вынужденной». Это вопрос выбора . В зависимости от этого выбора модель оказывается в разных возможных классах симметрии (возможные варианты: A, AIII, AI, BDI и D, как я объясню; соответствующие инварианты$0$,$\mathbb Z$,$0$,$\mathbb Z$,$\mathbb Z_2$).

Позвольте мне рассказать подробнее. Рассмотрим модель SSH

$$H_\textrm{SSH} = - \sum_n \left( t_{AB} \; c^\dagger_{n,A} c_{n,B} + t_{BA} \; c_{n,B}^\dagger c_{n+1,A} + h.c. \right).$$ В пределе $t_{BA} = 1$и $t_{AB} = 0$, мы получаем предел с фиксированной точкой, когда связь осуществляется исключительно между элементарными ячейками, что приводит к несвязанному фермиону с нулевой энергией на каждом конце цепи.

Принято определять одночастичный гамильтониан $\mathcal H_k$через

$$H = \sum_k \left( c^\dagger_{k,A}, c^\dagger_{k,B} \right) \mathcal H_k \left( \begin{array}{c} c_{k,A} \\ c_{k,B} \end{array} \right).$$ Следовательно, для $H = H_\textrm{SSH}$, у нас есть это $\mathcal H_{\textrm{SSH},k} = -\left[t_{AB} + t_{BA} \cos(k) \right] \sigma_x - t_{BA} \sin(k) \sigma_y$.

В этой модели много симметрии. Позвольте мне пройтись по ним, сосредоточившись на том, как они действуют на одночастичный гамильтониан (*):

1. Коммутирующая антиунитарная симметрия «обращения времени»$\mathcal T$определяется$\mathcal T \mathcal H_k \mathcal T := \mathcal H_{-k}^*$и$\mathcal T^2 = +1$. Мы видим, что$[\mathcal T, \mathcal H_{\textrm{SSH},k}] = 0$.
2. Антикоммутирующая унитарная симметрия «подрешетки»$\mathcal S$определяется$\mathcal S \mathcal H_k \mathcal S := \sigma_z \mathcal H_k \sigma_z$и$\mathcal S^2 = +1$. Мы видим, что$\{ \mathcal S, \mathcal H_{\textrm{SSH},k} \} = 0$.
3. Антикоммутирующая антиунитарная симметрия "частица-дырка"$\mathcal C$. Мы можем просто определить$\mathcal C = \mathcal S \mathcal T$. У нас есть это$\mathcal C^2 = +1$и$\{ \mathcal C, \mathcal H_{\textrm{SSH},k} \} = 0$.

Отсюда мы видим, что модель SSH имеет все три симметрии. $\mathcal T,\mathcal C,\mathcal S$которые входят в периодическую таблицу топологических изоляторов/сверхпроводников! Таким образом, мы можем выбрать, к какому классу мы его поместим. Вы можете подумать: «Если у него есть все симметрии, то мы должны поместить его в класс BDI, у которого есть все три симметрии». Это не совсем так: класс не определяется тем, «какие симметрии имеет наша модель?» а скорее «какие произвольные симметричные члены мы разрешаем добавлять в нашу модель?» . Позвольте мне рассказать подробнее.

• «Модель SSH относится к классу AIII» : если мы говорим это, мы имеем в виду, что мы допускаем любые возмущения, которые уважают$\mathcal S$, но они не должны подчиняться$\mathcal T$и$\mathcal C$. Таблица говорит нам, что существует бесконечно много различных фаз с промежутками, помеченных целым числом.$\mathbb Z$. Это легко понять:$\mathcal S$-симметрия выше говорит нам, что$\mathcal H_k$должен антикоммутировать с$\sigma_z$, следовательно$\mathcal H_k = h_x(k) \sigma_x + h_y(k) \sigma_y$. Поскольку наша модель имеет разрывы, у нас есть четко определенная карта

  $$S^1 \to \mathbb R^2 - \{0\}: k \to (h_x(k),h_y(k)).$$ Это вложение окружности в проколотую плоскость, имеющую четко определенный номер витка вокруг начала координат. Можно доказать, что число намотки эквивалентно $$\nu = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm dk\ \; \langle \psi_k| \sigma_z i \partial_k |\psi_k \rangle.$$ Несложно вывести, что для модели SSH мы имеем$\nu = 0$если$t_{AB} > t_{BA}$(тривиальная фаза) и$\nu = 1$для$t_{AB} < t_{BA}$(топологическая фаза). Классификация говорит нам, что независимо от того, что$\mathcal S$-симметричный член мы добавляем , мы не можем адиабатически соединить эти две фазы с зазором.

• «Модель SSH относится к классу BDI» : это означает, что мы применяем все три симметрии. Так как мы видели, что$\mathcal S$само по себе было уже достаточно, чтобы защитить$\mathbb Z$различных фаз, легко заметить, что с дополнительными симметриями наша классификация не становится меньше.

• «Модель SSH относится к классу D» : это означает, что мы допускаем все возмущения, которые учитывают$\mathcal C$, но они могут сломаться$\mathcal T$и/или$\mathcal S$. Можно показать, что теперь можно связать модель, имеющую$\nu = 2$тому, у кого есть$\nu =0$. В классе AIII мы не смогли этого сделать. В более общем случае получается только$\nu \mod 2$является хорошо определенным инвариантом (т. е. это число не может измениться без фазового перехода). Поскольку модель SSH имела$\nu = 1$в топологической фазе мы видим, что это все еще нетривиальная фаза в классе D. Эквивалентно, это$\mathbb Z_2$инвариант можно измерить

  $$\gamma = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm dk\ \; \langle \psi_k| i \partial_k |\psi_k \rangle.$$ Действительно, можно показать, что$\gamma \equiv \nu \mod 2$.

• «Модель SSH находится в классе A или AI» : теперь мы разрешаем все возможные термины (класс A) или все$\mathcal T$-сохранение терминов (класс AI). Классификация говорит нам, что в любом случае мы можем плавно соединить все модели с зазорами. Действительно, ничто не мешает нам добавить в модель SSH локальный потенциал, который можно использовать для плавного подключения лимита$t_{AB}=0,t_{BA}=1$до предела$t_{AB}=1,t_{BA}=0$. Следовательно, мы можем сказать, что модель SSH принадлежит к одному из этих двух классов, но если мы это сделаем, ее пограничные режимы больше не будут топологически защищены.

---

_{(*) Заметим, что на самом деле более естественно (но, увы, менее условно) рассмотреть, как симметрии действуют на фоковское пространство, т.е. как они действуют на «настоящий» гамильтониан$H$. Тогда три симметрии$T$,$C$и$S$все коммутируют , как и хотелось бы симметрии! Только один, если учесть их эффективное действие на одночастичный гамильтониан$\mathcal H_k$что некоторые становятся противниками поездок на работу, оскорбляя нашу физическую интуицию. Точнее,$T$определяется комплексно-сопряженным в основе физического занятия. Однако,$C$определяется унитарной ( коммутирующей) симметрией через$c_{n,A} \leftrightarrow c^\dagger_{n,A}$и$c_{n,B} \leftrightarrow -c^\dagger_{n,B}$. Обратите внимание, что это, естественно, объясняет его название как преобразование «частица-дырка». Причина, по которой она действует как антикоммутирующая антиунитарная симметрия$\mathcal C$на одночастичном гамильтониане связано с перестановкой кинжалов. Последнее можно переписать как транспонирование с точностью до знака. Используя эрмитичность, транспонирование можно заменить комплексным сопряжением.}