Для начала поговорим об уравнениях Максвелла; мы знаем, что уравнения Максвелла инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца, в конце концов, именно поэтому зародилась вся эта теория относительности. Утверждение, что закон инвариантен относительно преобразования Лоренца, эквивалентно утверждению, что один и тот же закон верен для любого наблюдателя в любой системе отсчета (то есть, если я правильно понимаю значение слова инвариант в этом контексте ) .
Проблема в том, что это явно не верно для уравнения Максвелла; чтобы решить эту проблему, мы пишем уравнения Максвелла, используя тензоры, такая явно инвариантная формулировка уравнения Максвелла настолько хороша, что заслуживает своего собственного названия: ковариантная формулировка классического электромагнетизма.. (Если быть точным, этот термин относится к выражению всех законов электромагнетизма инвариантным образом, но все же уравнения Максвелла являются основными.) Но почему
запись закона с использованием тензоров должна подразумевать, что этот закон наверняка инвариантен относительно преобразования Лоренца? Это потому, что: тензоры инвариантны при любом преобразовании координат 1 , поэтому любой закон, записанный в форме: тензор равен тензору, обязательно будет инвариантным при любом преобразовании, включая преобразование Лоренца. масштабирование индексов от
к
, поэтому, конечно, тензоры в явно инвариантных законах должны масштабироваться в одном и том же диапазоне.)
Это то, что я сейчас понимаю по этой теме, это правильно?
Кроме того, и, может быть, главным образом, я не понимаю, почему инвариантная формулировка электромагнетизма называется ковариантной ; мне кажется, что термин ковариант здесь неуместен.
И напоследок: если мои рассуждения верны, законы, записанные в виде: тензор равен тензору , должны быть одновременно инвариантны относительно любых преобразований координат, а не только лоренцева; поэтому, даже если бы преобразование Лоренца имело совершенно другую форму, все равно законы, записанные с помощью тензоров, такие как уравнение Максвелла, все равно были бы инвариантными. Мне это кажется очень странным, это правда? Я имею в виду: это означало бы, что, например, уравнение Максвелла будет инвариантным независимо от вида преобразования; так что никакого особого отношения к преобразованию Лоренца не было бы.
[1]: Конечно, компоненты тензора не являются постоянными при произвольном преобразовании, но компоненты изменяются таким образом, чтобы компенсировать изменение базисных векторов, поэтому тензор в целом остается прежним.
Предположим, у вас есть две системы и в каждой системе у нас есть координаты и векторные потенциалы , , и . Поскольку оба и являются векторами, которые, как мы знаем, преобразуются следующим образом:
,
это также дает нам закон преобразования для производных:
Это то же самое, что преобразование . Теперь, если вы рассмотрите такой закон, как уравнения Максвелла:
Это преобразуется как:
Это означает, что оба уравнения, записанные в терминах координат и векторов каждой системы, предсказывают одно и то же поведение, потому что можно показать, что уравнения в системе со штрихами сводятся к уравнениям в системе без штрихов.
Предшествующее обсуждение в основном касалось специальной теории относительности или линейных преобразований координат. Полностью ковариантные уравнения для общего преобразования координат немного сложнее уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени , но основная идея та же, корень проблемы заключается в том факте, что производные не преобразуются, как в криволинейных координатах им требуется дополнительная часть для преобразования, как правильно ковариантная производная .
Но почему запись закона с использованием тензоров должна подразумевать, что этот закон наверняка инвариантен относительно преобразования Лоренца?
Сам закон не является инвариантным, он будет трансформироваться соответственно, если у него есть один индекс, он будет трансформироваться как вектор и так далее. Но ключевой момент в том, что закон в одной системе предсказывает то же самое, что и закон в любой другой.
Чарли