Как уравнения поля Эйнштейна возникают из теории струн?

(см. также: Общая теория относительности с точки зрения теории струн )

$\mbox ds^2=g_{\mu\nu}\mbox dx^{\mu}\mbox dx^{\nu}$является определяющим фактом из римановой геометрии и не имеет ничего общего с гравитацией. «Физика» общей теории относительности содержится в уравнениях поля Эйнштейна.$G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}$или, что то же самое, действие Эйнштейна-Гильберта$\mathcal{L}=\frac1{16\pi}R$.

Получить эти результаты из действия Полякова сложно, но есть более простой стандартный подход, который вы найдете во многих учебниках. В теории струн пары Дилатона связаны с мировым листом.

$$S_\Phi = \frac1{4\pi} \int d^2 \sigma \sqrt{-h} R \Phi(X)$$

Нарушение конформной симметрии в этом действии можно описать тремя функциями, известными как бета-функции. В теории струн типа IIB бета-функциями являются:

$${\beta _{\mu \nu }}\left( g \right) = \ell _P^2\left( {{R_{\mu \nu }} + 2{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi - {H_{\mu \lambda \kappa }}H_\nu {}^{\lambda \kappa }} \right)$$

$${\beta _{\mu \nu }}\left( F \right) = \frac{{\ell _P^2}}{2}{\nabla ^\lambda }{H_{\lambda \mu \nu }}$$

$$\beta \left( \Phi \right) = \ell _P^2\left( { - \frac{1}{2}{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi + {\nabla _\mu }\Phi {\nabla ^\mu }\Phi - \frac{1}{{24}}{H_{\mu \nu \lambda }}{H^{\mu \nu \lambda }}} \right)$$

Установка этих функций в ноль (т.е. требование конформной симметрии, ожидание получения вакуумных уравнений Эйнштейна-Поля):

$${{R_{\mu \nu }} + 2{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi - {H_{\mu \nu \lambda \kappa }}H_\nu ^{\lambda \kappa }} = 0.$$

$${\nabla ^\lambda }{H_{\lambda \mu \nu }} = 0 .$$

$${ - \frac{1}{2}{\nabla _\mu }{\nabla _\nu }\Phi + {\nabla _\mu }\Phi {\nabla ^\mu }\Phi - \frac{1}{{24}}{H_{\mu \nu \lambda }}{H^{\mu \nu \lambda }}} = 0 .$$

Первое из этих уравнений представляет собой исправленную форму вакуумного ЭФЭ, а остальные уравнения представляют собой аналогичные уравнения для других полей.