Действие Черна-Саймонса для неабелева мирового объема браны и рецепт симметричного следа Цетлина

Я пытаюсь воспроизвести результаты (известной) статьи Майера «Диэлектрические браны» https://arxiv.org/abs/hep-th/9910053 . Я немного изо всех сил пытаюсь получить числовые коэффициенты в уравнениях. Когда он объясняет связанное состояние D0-D2 в терминах набора D0-бран, то есть неабелевой рецептуры, он разлагает член Черна-Саймонса следующим образом в своем уравнении (67a):

$${\rm Tr}\left(\Phi^j\Phi^i[\Phi^k~\partial_k C_{ijt}^{(3)}(t)+ C_{ijk}^{(3)}(t)~D_t\Phi^k]\right) \tag{67a}$$ Я предполагаю, что $Tr(...)$символ здесь на самом деле описание симметричной трассы Цетлына, $$\text{STr}(A_1...A_n)=\frac1{n!}(A_1...A_n+\text{all possible permutations}),$$ который должен захватить $\alpha'$поправки в неабелевом D $p$-бранное действие до порядка четыре или около того. Моя проблема заключается в следующем: Уравнение (67) должно быть равно $$\frac{1}{3} {\rm Tr}(\Phi^i\Phi^j\Phi^k)~ F_{tijk}^{(4)}(t), \tag{67b}$$ Чтобы получить (67b), вы должны понимать, что $\partial_k C_{ijk}(t)=0$с $k$пространственные координаты и $C^{(3)}$зависит только от времени, а затем вы выполняете частичное интегрирование по другому члену, что (говорит мне) приводит к $$\text{Tr}(\Phi^i\Phi^j\Phi^k)F_{tijk}^{(4)}.$$ Итак, я говорю, что это $1/3$возможно, исходит из рецепта симметричной трассировки, но я не понимаю, каким образом, так как считаю, что $$\text{STr}[\Phi^i\Phi^j\Phi^k F_{tijk}^{(4)}]=0,$$ из-за индексов $F_{tijk}$антисимметричен в $i,j,k$. Может быть, этот фактор $1/3$исходит откуда-то еще?