Как возможно рассеяние?

Это потому, что для вычисления матрицы рассеяния вы не развиваете эти «внутренние» состояния только с взаимодействующим гамильтонианом (что оставило бы их неизменными), а со смесью свободных и взаимодействующих гамильтонианов. Возьмем гораздо более простую ситуацию классической динамической системы (резерфордовское рассеяние), например, точечный заряд, устремляющийся на бесконечность и рассеивающийся от фиксированного заряда с тем же знаком по траектории, похожей на гиперболу. Позволять$X$быть набором состояний (т.е. положение и скорость движущегося заряда здесь). Взаимодействующая эволюция дает поток$U(t_2,t_1):X\rightarrow X$Который означает, что$U(t_2,t_1)(x)$это состояние в то время$t_2$если$x$было состояние в то время$t_1$. Обратите внимание, что я не предполагаю$t_2>t_1$. Поток удовлетворяет полугрупповому свойству

$$U(t_3,t_1)=U(t_3,t_2)\circ U(t_2,t_1)\ .$$ Точно так же, если вы удалите фиксированную плату, вы получите свободный поток эволюции. $U_0(t_2,t_1)$. Ясно, когда время идет к $\pm\infty$движущийся заряд находится очень далеко от неподвижного и поэтому его эволюция примерно свободна, т.е. $$U(t_2,t_1)\simeq U_0(t_2,t_1)$$ если $t_1,t_2$оба отправлены в $-\infty$(или к $+\infty$). Цель $S$Оператор должен связать асимптотически свободную эволюцию в бесконечном прошлом с эволюцией в бесконечном будущем. Вопрос в том, как вы помечаете такие асимптоты. естественный способ - использовать положение во время $0$. Так дано $x\in X$, нулевые данные времени для свободной эволюции, вы связываете свободную траекторию $t\mapsto U_0(t,0)(x)$. Используя эту схему маркировки, как вы скажете, какова будущая асимптота? $y$учитывая, что прошлая асимптота $x$? Ответ $$y=U_0(0,T)\circ U(T,-T)\circ U_0(-T,0) (x)$$ вернее предел тому когда $T\rightarrow\infty$. $S$матрица или оператор - это карта $x\rightarrow y$. Как видите, здесь используется смесь свободных и взаимодействующих операторов эволюции. В случае классических ОДУ это в основном та же идея, что и метод вариации констант.