Об асимптотическом предположении поля в КТП

Я изучаю QFT и у меня проблемы с асимптотическим предположением. В нем говорится, что каждое поле Гейзенберга сходится к свободному полю (асимптотическому полю), если взять предел Икс 0 → ± ∞ .

ф ( Икс ) → Z ф как ( Икс ) ф как ( Икс ) "=" ∫ − ∞ + ∞ г 3 п ( 2 π ) 3 2 п 0 [ а как ( п → ) е − я п Икс + а как † ( п → ) е я п Икс ] ( как "=" в , вне )
Где а как ( п → ) есть оператор уничтожения асимптотического поля.

Я столкнулся с противоречием, что это делает теорию тривиальной. Позволять | н ⟩ , | м ⟩ собственные векторы оператора импульса п мю . Затем

⟨ н | ф ( Икс ) | м ⟩ "=" ⟨ н | е я п Икс ф ( 0 ) е − я п Икс | м ⟩ "=" е я ( п н − п м ) Икс ⟨ н | ф ( 0 ) | м ⟩

И его зависимость от x является только фазовой. Из-за асимптотического предположения и того факта, что собственные векторы импульса образуют полный набор, ф ( Икс ) "=" Z ф как ( Икс ) должен держать.

Что не так с этим рассуждением?

Ответы (1)

Ну, дело в том, что вы навязываете теорию. Фактическое асимптотическое условие LSZ говорит, что (я опускаю множитель Z ради простоты)

(0) ⟨ Ψ 1 | Φ ( ф , т ) | Ψ 2 ⟩ → ⟨ Ψ 1 | Φ ± ( ф , т ) | Ψ 2 ⟩ для  т → ± ∞
где
(1) ⟨ Ψ 1 | Φ ( ф , т ) | Ψ 2 ⟩ "=" ∫ Икс 0 "=" т ⟨ Ψ 1 | Φ ( Икс ) | Ψ 2 ⟩ ∂ ↔ Икс 0 ф ( Икс ) г 3 Икс
и ф "=" ф ( Икс ) является любым решением уравнения свободного поля и быстро обращается в нуль на пространственной бесконечности. Сходным образом
(2) ⟨ Ψ 1 | Φ ± ( ф , т ) | Ψ 2 ⟩ "=" ∫ Икс 0 "=" т ⟨ Ψ 1 | Φ ± ( Икс ) | Ψ 2 ⟩ ∂ ↔ Икс 0 ф ( Икс ) г 3 Икс

С Φ в (1) не удовлетворяет свободной теории, правая часть (1) зависит от т и (0) может иметь смысл.

Наоборот Φ ± удовлетворяет уравнению свободного поля и, следовательно, правая часть (2) не зависит от т . Штаты Ψ я принадлежат плотному множеству в гильбертовом пространстве, порожденному повторным применением соответственно а я н / о ты т † ( г ) на асимптотических вакуумных состояниях, где г являются гладкими решениями уравнения КГ, быстро исчезающими на пространственной бесконечности.

Вы довольно далеки от гипотез, написанных выше.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Есть и другой, менее строгий способ сформулировать условие LSZ более привычным для физиков образом. Сначала заметьте, что если Φ ± есть свободное поле в отдаленном будущем/прошлом, то

я ∫ Икс 0 "=" т Φ ± ( Икс ) ∂ ↔ Икс 0 е − я к Икс ( 2 π ) 3 2 к 0 г 3 Икс "=" а ± † ( к → )
где очевидно, что правая часть не зависит от т .

Если мы заменим Φ ± для Φ , тождество выше не работает, потому что взаимодействующее поле Φ удовлетворяет уравнению, отличному от уравнения Клейна-Гордона. Условие LSZ просто говорит, что это, однако, верно, если (а) принятие предела для больших | т | и (b) ссылаясь на матричные элементы (я не уверен в знаках и коэффициентах, и я опустил множитель Z )

(4) я ⟨ Ψ 1 | ∫ Икс 0 "=" т Φ ± ( Икс ) ∂ ↔ Икс 0 е − я к Икс ( 2 π ) 3 2 к 0 г 3 Икс | Ψ 2 ⟩ → ⟨ Ψ 1 | а ± † ( к → ) | Ψ 2 ⟩ для  т → ± ∞
и
(5) − я ⟨ Ψ 1 | ∫ Икс 0 "=" т Φ ± ( Икс ) ∂ ↔ Икс 0 е я к Икс ( 2 π ) 3 2 к 0 г 3 Икс | Ψ 2 ⟩ → ⟨ Ψ 1 | а ± ( к → ) | Ψ 2 ⟩ для  т → ± ∞
Во всех расчетах с формулами приведения LSZ используются только (4) и (5). Популярная наивная формулировка
Φ ( Икс ) → Φ ± ( Икс )
неверно с нескольких точек зрения и, если его воспринимать буквально, легко приводит к явно ложным результатам, на которые указывает ОП.

Я повторил свой расчет с вашей поправкой и обнаружил, что он не ведет к свободной теории, поскольку <0|\Phi(f,t)|n> переходит в 0, когда |n> является многочастичным состоянием. Мне еще предстоит понять смысл асимптотического условия LSZ, кажется, что важно учитывать только волновой пакет. И этого условия, безусловно, достаточно, чтобы вывести его следствия, такие как формула LSZ. мне нужно
быть более осторожным в использовании этого условия. Спасибо за ваш четкий ответ.
Извините, в моих формулах есть некоторые опечатки. Позвольте мне некоторое время, чтобы исправить их
Ну, за исключением коэффициентов, я думаю, что они правильные. Предлагаю вам ознакомиться с разд. II.3.2 книги Хаага "локальная квантовая физика", где эти вещи обсуждаются с достаточно строгим подходом.
Также википедия дает хороший аккаунт en.wikipedia.org/wiki/LSZ_reduction_formula
Извините, мне нужно больше объяснений. В вашем дополнении, я думаю, используется условие LSZ, поскольку для f установлено значение e ^ {-ikx}. Но не исчезает вдали. Может быть, f может быть произвольной функцией или не может быть?
Да ф заменяется е − я к Икс в формальном, нестрогом, лечении, даже если это ф это не волновой пакет. Должно быть какое-то «дистрибутивное» расширение формализма, в котором все и так идет правильно даже с такого рода функциями. Я предполагаю, что пределы в (4) и (5) следует интерпретировать как слабые (дистрибутивные) пределы, но я никогда подробно не изучал этот предмет...
ХОРОШО. Я до сих пор не понимаю важность (1). В любом случае, спасибо.
Полевые операторы являются операторами, когда они размазаны по тестовым функциям. Есть две процедуры, которые эквивалентны для свободных полей. Один стандартный, где Φ ( г ) замазан стандартными тестовыми функциями г е С 0 ∞ ( р 4 ) , другая — процедура, когда оператор поля размазывается решениями ф уравнения КГ о ( Φ , ф ) . Здесь о является симплектической формой, сохраняющейся для свободных полей, заданной правой частью (1).
Формализм LSZ основан на этой второй процедуре размытия.
Учебник, который я читаю, не говорит об этом. Пробую другие книги. Спасибо
Об асимптотическом предположении поля в КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v