Принцип действия, лагранжева механика, гамильтонова механика и законы сохранения в предположении аристотелевской механики F=mvF=mvF=mv

В отличие от ньютоновской механики

Для начала у вас нет$\vec F~=~m\vec v$как раз по габаритным причинам. Вместо массы$m$мы могли бы использовать$\vec F_v~=~\sigma\vec v$. Это сила, обусловленная вязкостью или трением. Затем мы можем записать потенциальную энергию, используя теорему о работе-энергии.$\int\vec F_v\cdot d\vec r$ $=~\sigma\int\vec v\cdot d\vec r$. Потому что$\vec v~=~d\vec r/dt$у нас есть$W~=~\sigma\int\vec v\cdot\vec v dt$. Теперь определим тип потенциала$U~=~-W$.

Вроде все хорошо, но есть проблема. Вернемся к$\int\vec F_v\cdot d\vec r$и рассмотрим интегрирование вокруг петли постоянного радиуса$R$. Переменная интегрирования – это угол$\theta$так что$d\vec r~=~R\vec\theta d\theta$. Ясно тогда$\vec v\cdot d\vec r$ $=~R^2\omega d\theta$для скорости$\vec v~=~R\omega\vec\theta$для постоянного$\omega$угловая скорость. Это означает, что закрытая интеграция

Сила$\vec F_v~=~\sigma\vec v$не является консервативным и указывает на то, что энергия и действие или угловой момент отнимаются, так как$\sigma~<~0$, или для этого положительного означает, что есть какой-то источник энергии или «момент», вводящий угловой момент (действие) в систему.

Аристотелевскую механику с консервативными «силами» можно записать как$m\dot{\vec{x}}+\vec{\nabla}L=0$, где я обозначил потенциал$L$вместо$V$потому что его размерность равна угловому моменту, и я не хочу, чтобы люди говорили: «Вы не можете этого сделать из-за размерного анализа». Уравнения Эйлера-Лагранжа первого порядка достижимы путем введения вспомогательной переменной, а именно.$L=\vec{y}\cdot\left(m\dot{\vec{x}}+\vec{\nabla}L\right)$. Стоит сдвинуть это на полную производную, чтобы сделать$\vec{y}$динамичный, т.$L=\vec{y}\cdot\vec{\nabla}L-m\vec{x}\cdot\dot{\vec{y}}$. (Уравнение Шредингера можно получить из лагранжиана, в котором «вспомогательная переменная» равна$\psi^\ast$, потому что комплексные числа допускают такой трюк "ничего нового не придумывай". Сдвиг на полную производную в этом случае оправдывается стремлением к отшельничеству.)

Варьируется$\vec{y}$дает нам ELE, который мы хотим. (Что касается полноты, варьируется$x_i$дает нам$\sum_jy_j\partial_i\partial_j L-m\dot{y}_i=0$с$\partial_i:=\frac{\partial}{\partial x_i}$, т.е.$m\dot{\vec{y}}-\vec{\nabla}\left(y\cdot\vec{\nabla}L\right)=0$.) Я оставлю в качестве упражнения добавление терминов для неконсервативных сил по аналогии с тем, как это приводит к лагранжевой формулировке ньютоновской механики с неконсервативными силами.

Юджин Вигнер обсуждал симметрии и законы сохранения аристотелевской физики в очень короткой статье « Законы сохранения в классической и квантовой физике ». Обычные законы сохранения не выполняются.