Как сформулировать вариационные принципы (лагранжиан/гамильтониан) для нелинейных, диссипативных или начальных задач?

Хотя этот вопрос очень сильно связан с математикой, я разместил его в разделе «Физика», поскольку он связан с вариационными (лагранжевыми/гамильтоновыми) принципами динамических систем. Если я должен перенести это в другое место, пожалуйста, скажите мне.

Часто в аспирантуре и бакалавриате нам говорят, что мы можем сформулировать лагранжиан (и гамильтониан) только для «потенциальных» систем, где в динамике удовлетворяется условие, что:

м Икс ¨ "=" − ∇ В
Если это так, мы можем сформулировать функционал, стационарный по отношению к системе, как:
Ф [ Икс ] "=" ∫ 0 т ( 1 2 м Икс ˙ ( т ) 2 − В ( Икс ( т ) ) ) д т

Взятие первой вариации этого функционала дает динамику системы вместе с условием, которое фактически утверждает, что начальная конфигурация должна быть аналогична конечной конфигурации (изменение на границах равно нулю).

Теперь, учитывая функционал:

Ф [ Икс ] "=" 1 2 [ Икс Т * Д ( Икс ) ] + 1 2 [ Икс Т * А Икс ] − 1 2 Икс ′ ( 0 ) Икс ( т )
С А симметричный и Икс ( 0 ) являющееся начальным условием, и:
[ ф Т * г ] "=" ∫ 0 т ф Т ( т − т ) г ( т ) д т

Если мы возьмем первую вариацию и предположим только , что начальная вариация равна нулю, функционал будет стационарным относительно:

д Икс ( т ) д т "=" А Икс ( т )

Это функционал, полученный Тонти и Гуртином, он представляет собой вариационный принцип для линейных задач с начальным значением с симметричными матрицами состояния и показывает в качестве доказательства концепции, что функционалы могут быть получены для непотенциальных систем, начальных значений или диссипативных систем.

Мой вопрос заключается в том, можно ли вывести эти функционалы для произвольных нелинейных систем, которые не имеют одинаковых начальной и конечной конфигураций (и не могут иметь одинаковых начальных и конечных конфигураций из-за диссипации)?

Какие условия будут существовать на динамику этих систем?

В этом примере А должна быть симметричной, что уже подразумевает, что все ее собственные значения действительны, и, следовательно, это непотенциальная система, но для нее все же есть функционал, который можно вывести.

Будем признательны за любые связанные источники, информацию или ответы относительно конкретных случаев. Если кому-то нужны разъяснения или доказательства любого результата, который я представил здесь, дайте мне знать.

Изменить . Кроме того, связанный с этим вопрос, кто-то видит это: в настоящее время меня просто интересует абстрактный аспект проблемы (решение/исследование ее ради нее), но почему такие функциональные представления полезны? Я знаю, что есть некоторые численные приложения, но если у меня есть функционал, который достигает минимума для определенной системы, что я могу с ним сделать?

Трение и диссипация невариативны, см., например, этот пост . Существуют «лагранжевы» формулировки для диссипативных сил, но они не подчиняются наивному принципу наименьшего действия, см. этот пост и эту статью.
@ACuriousMind: я рассмотрю сообщения и документы, на которые вы ссылались, я еще не уверен, что вы имеете в виду, но я вернусь к концу сегодняшнего дня, чтобы ответить более конкретно. Кроме того, я хочу упомянуть еще одну вещь: у Рэлея есть метод для работы с диссипацией и внешним воздействием, но я специально ищу автономную формулировку без необходимой функции дисспации, только с одним функционалом.
В первом сообщении, на которое я ссылаюсь, показан общий метод определения того, существует ли лагранжево описание системы, заданной дифференциальными уравнениями. Это определенно - нет лагранжевого описания общей диссипативной силы (хотя вы можете обмануть в определенных ситуациях). В статье обсуждается, как можно использовать «расширенное лагранжево описание», лагранжиан которого не является суммой потенциалов и кинетических энергий, для моделирования дисспативных сил.
@ACuriousMind: я не обязательно ищу лагранжиан, я задаю более общий вопрос о существовании ЛЮБОГО функционала, который может быть стационарным по отношению к ЛЮБОЙ системе. Другой связанный с этим вопрос может звучать так: когда вы можете «обмануть» и почему? Какие условия существуют в системах, где вы можете «обмануть»?
Как пишет Qmechanic: «Это открывает множество возможностей, и может быть очень сложно систематически найти принцип действия или, наоборот, доказать беспроигрышную теорему о том, что данный набор еомов не является вариационным». Я думаю, что у нас нет ответа на ваш вопрос в такой общности.
@ACuriousMind: почему-то я не вижу комментарий Qmechanic, но я понимаю, что вы имеете в виду. Я видел другие статьи по этой теме, в основном те, которые углубляются в подходы на основе свертки. Меня в основном интересовали теоретические аспекты проблемы. Например, предположим, что я могу найти функционал, неважно, какой он, какие условия существуют на динамику, функционал и т. д.

Ответы (1)

Комментарии к вопросу (v3):

I) Билокальный метод Гуртина-Тонти [который ОП упоминает в примере; см. также Раздел II ниже] о соединении противоположных времен т ↔ ( т ф − т я ) − т (скрытый внутри свертки) является искусственным трюком с точки зрения фундаментальной физики, если только это не оправдано. Почему могут иметь место такие корреляции в прошлое/будущее?

Фактически, это может иметь нелокальные квантово-механические последствия, если такое нелокальное действие предполагается использовать в формализме интеграла по путям.

Также метод свертки Гуртина-Тонти не работает для некомпактного интервала времени. [ т я , т ф ] , т.е. если т я "=" − ∞ или т ф "=" ∞ .

Большинство моделей фундаментальной физики обычно подчиняются локальности , но на рынке есть различные нелокальные предложения.

Вопрос о том, является ли некоторая система уравнений движения Е я ( т ) имеет принцип действия (или нет!) может быть очень трудно ответить, и часто является активной областью исследований, ср. например, этот пост Phys.SE.

Кроме того, что представляет собой приемлемый принцип действия? Например, можем ли мы просто ввести некоторые множители Лагранжа λ я ( т ) и действие С "=" ∫ д т   λ я ( т ) Е я ( т ) так что дельта С / дельта λ я ( т ) "=" Е я ( т ) , и на этом закончим? Или нам нельзя вводить вспомогательные переменные или нелокальность? Должен ли он удовлетворять принципу минимума, а не принципу стационарности? И так далее.

II) Пример. Рассмотрим для простоты единичный интервал времени [ т я , т ф ] "=" [ 0 , 1 ] . Симметризированная версия модели Гуртина-Тонти представляет собой следующее билокальное действие

С [ д ]   "="   1 4 ∬ [ 0 , 1 ] 2 д т   д ты   { д я ( т ) ( д д я ( ты ) д ты − А я Дж ( т , ты ) д Дж ( ты ) ) + ( т ↔ ты ) } дельта ( т + ты − 1 )
  "="   1 2 ∫ [ 0 , 1 ] д т   { 1 2 д я ( 1 − т ) д д я ( т ) д т − 1 2 д я ( т ) д д я ( 1 − т ) д т − д я ( 1 − т ) А я Дж ( 1 − т , т ) д Дж ( т ) }
(1)   "="   1 2 ∫ [ 0 , 1 ] д т   { д я ( 1 − т ) д д я ( т ) д т − д я ( 1 − т ) А я Дж ( 1 − т , т ) д Дж ( т ) }

с симметричной матрицей

(2) А я Дж ( т , ты )   "="   А Дж я ( ты , т ) .

Интересно, что граничные вклады в вариации дельта С отменить без наложения каких-либо граничных условий (BC). Другими словами, при нахождении стационарных решений можно считать, что переменные д я свободны на обоих концах. (Однако могут быть и другие причины для введения БК.)

Функциональная производная

(3) дельта С [ д ] дельта д я ( т )   "="   { д д я ( ты ) д ты − А я Дж ( т , ты ) д Дж ( ты ) } | ты "=" 1 − т .

Отсюда уравнения движения становятся

(4) д д я ( т ) д т   ≈   А я Дж ( 1 − т , т ) д Дж ( т ) .

Использованная литература:

  1. В. Бердичевский, Вариационные принципы механики сплошных сред: I. Основы, 2009; Приложение Б.
Кажется, я понимаю, что вы имеете в виду. По сути, вы утверждаете, что смешение этих противоположных времен не имеет смысла с физической точки зрения? Какое обоснование было бы более разумным? Возьмем, к примеру, эту статью: arxiv.org/abs/1112.2286 . здесь автор использует дробные производные для формулировки вариационного принципа. Дробные производные также являются нелокальными величинами, и есть что сказать о процессах с трением, которые в некотором смысле нелокальны, поскольку они зависят от пути.
Я понимаю, что вы имеете в виду, говоря о проблеме местности. Интересно отметить, что в частотной области свертка принимает локальную форму, а скалярное произведение действует наоборот.
Свертка также может быть полезна для описания диссипативных процессов именно из-за ее нелокальности. Что-то вроде способа сказать: «Я в данный момент т , теперь позвольте мне свернуть всю информацию о моем состоянии т время в прошлом с информацией, восходящей к тому времени». Если вы посмотрите на требования к системе, чтобы она могла работать в сверточной структуре с независимостью от пути, для линейных систем работают только системы с симметричными матрицами состояния (которые только имеют действительные собственные значения, которые могут быть диссипативными).
Кроме того, существуют способы сформулировать локальные вариационные принципы для диссипативных систем, меня беспокоит только то, что конфигурация системы не является действительно одинаковой в начале и в конце, так как же можно оправдать утверждение, что вариация равна нулю в обоих случаях? конечные точки?
Дополнительные ссылки: CR Galley, arxiv.org/abs/1210.2745 Хитрость здесь вкратце 1. удвоить д с. 2. л "=" л 1 − л 2 + … . 3. д − действует как множитель Лагранжа, который налагает eom для д + .
Спасибо! Я на самом деле видел это тоже, это определенно полезно.
Как сформулировать вариационные принципы (лагранжиан/гамильтониан) для нелинейных, диссипативных или начальных задач?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v