Как я квантую классическую теорию поля

Во-первых, реквизит даже для того, чтобы знать правильное использование терминологии. Осмелюсь предположить, что большинство школьников, вероятно, думают, что классическая теория поля — это слушание Моцарта на лугу.

Теперь, если я могу начать с самого начала...

Вы, кажется, уже знаете это, но я повторю это из педагогических соображений. Когда кто-то говорит, что у него есть классическая теория поля, которую он хочет квантовать, это означает, что у него обычно есть лагранжева плотность в терминах скалярного, калибровочного, векторного, спинорного или другого типа поля. Кроме того, лагранжиан обычно подчиняется известному (известному им) типу симметрии (например, вращательной инвариантности), и у них также обычно есть уравнения движения для него. Конкретный для вашего примера закон Гаусса для гравитации - это уравнение движения для плотности лагранжиана ньютоновской гравитации (Википедия может предоставить это уравнение). В этом лагранжиане скалярное поле$\phi$является важным компонентом, а не гравитационное поле.

Теперь, если предположить, что у физика есть классическая теория поля, один из стандартных методов ее квантования (преобразование ее в квантовую теорию поля) заключается в следующем: 1.
Найдите решение для общего случая для$\phi$если возможно, это значительно облегчает процесс.
2. Напишите оператор$\phi$в терминах операторов уничтожения и созидания (назовем их$a_k$и$a_k^\dagger$соответственно).
Например, если мне удалось найти общее решение для моего$\phi$был:

$$\phi(x)=e^{ikx}+e^{-ikx}$$ Тогда я мог бы переписать это как: $$\phi(x)=A(a_ke^{-ikx}+a_k^\dagger e^{ikx})$$ 3. Наложить на теорию канонические (анти)коммутационные соотношения. Если теория написана с использованием бозонов (а я полагаю, что ваша), то используйте коммутаторы. Если он использует фермионы, то используйте антикоммутаторы. Для вашего случая канонические коммутационные соотношения должны быть:

$$[\phi_a(\mathbf x),\Pi_b^0(\mathbf y)]~=~i\delta_{ab}\delta^3(\vec x-\vec y)$$ $$[a_{k},a_{k'}^\dagger]~=~\delta^3(\vec k-\vec k')$$

Когда я говорю «наложить эти отношения», я имею в виду, что на шаге 2 вам нужно поместить коэффициенты нормализации (коэффициенты типа «А» просто используются для получения правильного результата на шаге 3) перед терминами оператора создания и уничтожения. Затем при наложении отношений вам нужно установить LHS=RHS и найти эти коэффициенты так, чтобы отношения сохранялись. Важно отметить, что эти коэффициенты не обязательно должны быть постоянными, просто они должны быть c-числами (не функциями ни x, ни операторов). На самом деле, один из самых основных коэффициентов заканчивается$\omega_k$в ней, которая является функцией импульса k.

Тогда все готово! Если вы можете выполнить шаги 2 и 3, то полученная вами теория является квантовой теорией поля. Я уверен, что другие дадут мне знать, что я пропустил один или два метода. Если вы вспомните что-то, что я забыл, дайте мне знать, и я добавлю это.

Изменить.
Было указано, что я (каким-то образом) забыл упомянуть метод формулировки интеграла по путям для квантования теории. Это концептуально более сложный метод, требующий более глубокого понимания (т.е. формального обучения) теоретической физики. Я не привожу здесь его полное описание, потому что не хочу слишком сильно повышать уровень сложности этого ответа. В общем, интеграл по путям работает лучше, чем тот, который я перечислил, но он, конечно, не такой прямолинейный (спорный). Кроме того, он по своей сути является релятивистским, что является преимуществом по сравнению с более простым методом (если только вы не собираетесь добавлять теорию относительности позже).

«Я школьник, 14 лет, изучаю физику самостоятельно»

Да, я тоже был там, делал подобные вещи, примерно в этом же возрасте. Вам уже не 14, а 22 или 23 на момент написания статьи. Итак, теперь у нас есть лучшая перспектива, и мы можем рассмотреть этот вопрос более убедительно.

«В настоящее время я пытаюсь создать квантовую теорию поля, как часть моего плана по созданию возможной теории квантовой гравитации, добавив позже релятивистские поправки».

Вам нужно больше беспокоиться о том, как вы на самом деле делаете второй шаг, а не первый! Неизвестна нерелятивистская версия общей теории относительности, представленная в форме лагранжевой теории поля, лагранжиан которой является нерелятивистским пределом лагранжианов Эйнштейна-Гильберта или Эйнштейна-Картана или любых других, используемых в общей теории относительности или ее вариантах. . И вполне может быть, что их вообще не может быть.

Более того, квантование нерелятивистской теории гравитации как гибридного поля (для гравитации) и механики (для частиц) тоже обречено на провал. У вас все еще есть проблема дивергенции — каждая частица испытывает свой собственный гравитационный потенциал как самостоятельную силу. И у вас все еще есть те же проблемы с «вычитанием бесконечности», чтобы попытаться разработать какой-то последовательный неспециальный способ объяснить это. Это та же проблема, что и для любой квантовой теории поля, не говоря уже о квантовой теории гравитации. Так что ни от чего не убежишь. Он будет преследовать вас и преследовать вас, вплоть до ньютоновской гравитации.

Вы можете схитрить и относиться к комбинированной гибридной системе просто как к чистой механике, с «потенциалом», сведенным к координатам частиц, но тогда вы упустите весь смысл упражнения… если вы каким-то образом не найдете способ заменить теории поля основанными на частицах теориями механики в теории относительности (и сделать это тем, к чему вы «релятивистски-корректируете»); но чистая динамика частиц в теории относительности также сталкивается с различными препятствиями, такими как теорема Лейтвайлера.

Что касается теорий поля, то существует гравитация Ньютона-Картана, но она сформулирована в терминах уравнений поля — очень плохо составленных вместе — а не в терминах какого-либо принципа действия. И это неполно: для самой плотности массы нет закона поля или динамики.

Теория поля квантуется только тогда, когда она впервые сформулирована в терминах принципа действия. Попытки разработать лагранжеву полевую теорию ньютоновской гравитации как теорию гравитации и гидродинамики никогда не предпринимались. Помните: уравнения Эйнштейна для общей теории относительности включают в себя как закон гравитации, так и гидродинамику — фактически являясь формулировкой самой гидродинамики в присутствии гравитации, причем гравитация представляется хроногеометрически как искривление пространства. -временной континуум (при этом большая часть эффекта, который мы ощущаем как гравитация, представляет собой искривление временного измерения).

Когда вы кладете Ньютона-Картана и общую теорию относительности рядом и пытаетесь сопоставить части, они совсем не совпадают; а гидродинамики в Ньютоне-Картане нет вообще.

Основная причина несоответствия заключается в том, что существует еще более глубокое несоответствие между релятивистской и нерелятивистской физикой (в том виде, в каком они сформулированы в настоящее время), которое, по-видимому, блокирует любую перспективу «начать с нерелятивистской теории, добавить релятивистскую теорию». исправления позже». Точный термин для этого последнего шага называется «деформация», и место для рассмотрения этого — то, что известно как теория деформации.

Вполне вероятно, что одна или обе теории сформулированы не совсем правильно, поскольку они расходятся друг с другом в прямом направлении как «деформация» или в обратном направлении как «нерелятивистский предел». К каждому нужно добавить что-то еще; что в случае нерелятивистской физики означает «добавленный ретро»; чтобы они выстроились правильно.

Нерелятивистская физика якобы управляется группой симметрии, известной как группа Галилея, в то время как релятивистская физика управляется группой Пуанкаре и ее однородной версией, группой Лоренца. Общая теория относительности фактически не включает ни то , ни другое в свою формулировку как таковую; например, некоторые решения уравнений поля Эйнштейна могут допускать изменение сигнатуры пространства-времени, так что локальное пространство-время Минковского в одной области соединяется через сингулярную поверхность с локально-евклидовым 4-мерным безвременным пространством в другой — «сигнатура меняющиеся" решения.

Исторически общая теория относительности была сформулирована на основе действия Эйнштейна-Гильберта, которое основано на псевдоримановой геометрии, но на самом деле не зависит от сигнатуры лежащей в основе геометрии.

Его можно сформулировать на основе геометрии Римана-Картана, которая непосредственно воплощает в себе локализованную версию группы Лоренца. Это приводит либо к теории Эйнштейна-Картана, если используется действие Эйнштейна-Картана, либо к самой общей теории относительности, переформулированной в геометрии Римана-Картана с использованием действия Палатини вместо действия Эйнштейна-Гильберта. Таким образом, либо из них, либо что-то подобное или восходящее совместимое - это то, к чему вы должны стремиться с помощью «релятивистской коррекции к (...)».

Основное несоответствие состоит в том, что для нерелятивистской теории неоднородная группа Галилея вообще не является нерелятивистским пределом группы Пуанкаре; хотя однородная группа Галилея является пределом группы Лоренца, а группу Лоренца можно представить как деформацию однородной группы Галилея.

Частично это связано с тем, что правильной группой симметрии для нерелятивистской теории является не однородная и не неоднородная группа Галилея, а группа Баргмана, которая является «центральным расширением» неоднородной группы Галилея. В нем не группа Пуанкаре как деформация, а тривиальное центральное расширение Пуанкаре как единое целое.

Основная изюминка заключается в том, что в то время как геометрия, естественно связанная с группами Лоренца и Пуанкаре, представляет собой 3 + 1-мерную геометрию Минковского, геометрия, связанная с Баргманном, является 4 + 1-мерной (геометрия Баргмана). У вас тут полное несоответствие.

Самый прямой способ увидеть это состоит в том, что, хотя 3-компоненты импульса и полной энергии - или 4 компонента всего - преобразуются вместе в теории относительности как 4-вектор по закону Лоренца или Пуанкаре, в нерелятивистской теории вы у вас нет такой вещи, как «полная энергия», но вместо этого у вас есть только кинетическая энергия и масса. Всего это 5 компонентов, а не 4. Они преобразуются вместе, согласно Баргманну, как 5-вектор.

Вы не можете деформировать это до какой-либо «релятивистской» версии, кроме как снова рассматривать кинетическую энергию и массу как независимые компоненты, даже если они продолжают иметь нетривиальные преобразования друг в друга при Лоренце или Пуанкаре ... но теперь как компоненты 5-вектора.

Все это имеет центральное значение для всего предприятия по определению «тензора напряжения». Если вы выстроите компоненты тензора напряжений в матрицу, строки дадут вам компоненты для континуальной версии каждого из вышеперечисленных элементов. Итак, в теории относительности верхняя строка будет 4-компонентной для «энергетического потока», а каждая из следующих трех строк будет 4-компонентной для каждой из составляющих «импульсного тока». Это матрица 4х4.

Для нерелятивистской теории у вас будет 5 строк. Чтобы сделать матрицу симметричной, как и должен быть тензор напряжений, она также должна иметь 5 столбцов, что означает 5 координат. Это матрица тензора напряжений 5 x 5. Верхняя строка предназначена для массовой плотности и дает вам уравнение баланса гидродинамики для нее. Следующие три строки относятся к каждой из трех составляющих импульса, что дает вам три уравнения баланса для плотности импульса. Наконец, в нижней строке указана плотность кинетической энергии.

Вполне возможно взять 4+1-мерную версию действия Эйнштейна-Гильберта в локально-баргмановской геометрии или ее геометрические версии Римана-Картана (4+1-мерное действие Палатини или Эйнштейна-Картана). Затем необходимо наложить дополнительные ограничения, чтобы сузить результаты до ньютоновской гравитации, сохранив при этом некоторую способность деформировать ее в релятивистскую версию общей теории относительности; но теперь с его геометрией пространства-времени, встроенной в измерения 4+1. Тем не менее, несмотря на все это, несоответствие все еще сохраняется.

Ближе всего к этому я видел «Структуры Баргмана и теория Ньютона-Картана» Дюваля, Бурде, Кюнцле и Перрина в Physical Review D 31(8), 14 апреля 1985 г. Это не открытый доступ, вы должны сходите за ним в библиотеку или войдите в компьютер в кампусе, на котором хранится журнал.

Цитируя их, во главе их раздела «VI. Уравнения поля Ньютона»: «Как ни странно, уравнения поля Ньютона [...] не могут быть легко получены из конкретной плотности лагранжиана пространства-времени. Просто кажется, что могут существовать какое-то чисто геометрическое препятствие существованию четко определенной вариационной задачи в четырехмерном изображении».

Следующая переформулировка локальной геометрии Баргмана помогает, или, как говорят, «мы покажем здесь, что введение структур Баргмана улучшает ситуацию», но не решает проблему полностью. Не хватает еще чего-то; и я думаю, что дополнительный недостающий элемент находится на стороне несоответствия относительности, а не на стороне Ньютона. То есть: на самом деле у нас может быть не полная версия того, какой должна быть правильная релятивистская теория, а только сокращенная и ограниченная версия того, какой она должна быть.