Как я могу доказать, что волновая функция остается нормализованной с течением времени?

Для всех практических целей в физике существование$\int_V |\Psi|^2dV$поставляется с$\Psi(x,t)$идет к 0 как$\|x\|$идет к$+\infty$тогда как пространственные производные остаются ограниченными. Таким образом, ваш последний интеграл равен 0.

Как отметил Вальтер Моретти в комментариях, легко построить$\Psi$такой, что$\int_{\mathbb{R}^3} |\Psi|^2dV$конечно, но$\Psi$уходит в бесконечность как$\|x\|$идет к$+\infty$. Это уже можно сделать в 1D. Посмотрите этот вопрос в разделе «Вопросы и ответы по математике» и несколько ответов, чтобы понять идею, а затем смешайте это с этим трюком , чтобы получить гладкие функции. Трясусь и отчаиваюсь на математике… К счастью, оказывается, мы, физики, сумели благополучно проигнорировать такие вопросы без существенной реакции.

Ответ @LucJ.Bourhis предоставляет необходимую информацию о том, почему$\oint_S \rightarrow 0$как размер$S\rightarrow \infty$. Говоря более конкретно, изучите интеграл нормализации в сферических координатах:

$$N\equiv\int |\Psi|^2 r^2\sin\theta \operatorname{d} r \operatorname{d}\theta \operatorname{d}\phi.$$ Для того чтобы $N$быть конечным, $\lim_{r\rightarrow\infty} r^{3+\epsilon} |\Psi|^2 = 0$для некоторых $\epsilon > 0$(т.е. аргумент радиального интеграла должен обращаться в нуль быстрее, чем $1/r$). Если вы исследуете компоненты градиента $|\Psi|^2$(равно аргументу $\oint_S$по правилу произведения) вы обнаружите, что оно обращается в нуль, как, по крайней мере, производная верхней границы $|\Psi|^2$. С верхней границей на $|\Psi|^2$существование $\propto r^{-3-\epsilon}$, то верхняя граница $\left|\partial_r |\Psi|^2\right|$является $\propto r^{-4-\epsilon}$. Этот вопрос на math.stackexchange имеет отношение к тому, является ли это доказательство надежным.

Объяснение того, почему угловые компоненты не имеют значения, остается в качестве упражнения.

Для системы с гамильтонианом$\hat H$, временная эволюция произвольного состояния$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$регулируется

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle = \hat H |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle \tag{1}\label{SE}.$$

Мы можем взять сопряженное уравнение.$\eqref{SE}$и он читает

$$-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)| = \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)| \hat H \tag{2}\label{adjSE}.$$

Обратите внимание, что мы предполагаем, что гамильтониан является эрмитовым, поэтому в правой части уравнения$\eqref{adjSE}$,$\hat H^ \dagger$был заменен$\hat H$.

Теперь мы подходим к исходному вопросу, а именно к временной эволюции нормализации$\mathcal{N}(t) := \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$волновой функции. Поэтому мы хотели бы оценить следующую величину --

$$\mathcal{\dot N}(t) = \frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle.$$

Мы поступаем как

$$\begin{align} \mathcal{\dot N}(t) & = \frac{\partial}{\partial t}\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle, \\ \\ & = \left(\frac{\partial}{\partial t} \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\left(\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|~\frac{1}{i\hbar}~\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}~\left(\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H\right)|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|~\frac{1}{i\hbar}~\left(\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle\right), \mathrm{Using~Eqs. \eqref{SE} \& \eqref{adjSE}} \\ \\ & = \frac{1}{-i\hbar}~\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle + \frac{1}{i\hbar}~\langle\Psi\left(\textbf{r},t\right)|\hat H|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle, \\ \\ & = 0. \end{align}$$

Поскольку производная нормировки по времени равна нулю , нормализация остается постоянной во времени.

Что следует отметить:

• Чтобы нормализация не зависела от времени, требуется унитарная эволюция состояний во времени$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle$, а именно $$|\Psi\left(\textbf{r},t\right)\rangle = \mathcal{U}\left(t,t'\right)|\Psi\left(\textbf{r},t'\right)\rangle.$$
• Для$\mathcal{U}\left(t,t'\right)$быть унитарным оператором вида $$\mathcal{U}\left(t,t'\right) = \exp\left(-i\hat H (t-t')/\hbar\right),$$ требуется$\hat H$быть эрмитовым.
• Фундаментальной причиной того, что состояния остаются нормализованными во временной эволюции типа Шрёдингера, является эрмитовость гамильтониана. Хотя бывают ситуации, когда состояния могут оставаться нормализованными при эволюции во времени для гамильтониана, который не является эрмитовым. Однако независимость нормировки от времени гарантируется для унитарной эволюции во времени, а именно для эрмитова гамильтониана, при уравнении типа Шредингера.