Классические и квантовые корреляции в двудольной системе

Давайте пройдемся по вашему списку.

$\underline{\text{Classical correlations}}$- это корреляции, которые могут быть созданы с помощью LOCC (локальные операции и классическая коммуникация).

Да это верно.

1. Имеют ли локальные операторы, действующие в двудольном гильбертовом пространстве, следующий вид:$U_{A} \otimes I_{B} \text{ and } I_{A} \otimes U_{B}$?

Да, это правильно, хотя это не учитывает классическую коммуникацию, поэтому набор LOCC больше. Полное выражение довольно неуклюже (поскольку оно должно учитывать произвольное количество циклов для классического общения с локальным унитарным и проективным измерением на каждом конце), но в Википедии есть хорошие подробности, если они вам нужны .

Если это так, то локальность этих операторов не имеет ничего общего с пространственной локальностью. Это верно?

Это не должно иметь ничего общего с пространственной локальностью. Обычно вы добиваетесь этого, оговаривая, что подсистемы A и B находятся в удаленных местах и ​​что их измерения происходят достаточно быстро, чтобы они находились в пространственно-разделенных областях пространства-времени. Если вы этого не сделаете, то «локальность» просто станет маркером различных тензорных факторов пространства состояний.

$\underline{\text{Quantum correlations}}$являются корреляциями, которые не могут быть созданы вышеупомянутым способом.

Вообще говоря, да.

2. Означает ли это, что квантовые корреляции будут создаваться нелокальными(?) операторами вида:$U_{A} \otimes U_{B}$?

Да.

Есть ли другой способ создания квантовых корреляций?

Это зависит от того, что вы считаете «способами». Существует множество квантовых каналов , которые создают квантовые корреляции, которые не имеют формы$U_{A} \otimes U_{B}$; в качестве примера возьмем унитарный канал вида$U_{A} \otimes U_{B}$и следуйте за этим с некоторой ограниченной декогерентностью. Это считается?

Вообще говоря, если у вас есть данный квантовый канал и вы знаете, что он создает квантовые корреляции, вы, как правило, сможете разложить его таким образом, но это разложение не обязательно говорит о том, что «на самом деле происходит» внутри канала. system (и у вас, как правило, нет к ней доступа).

Поэтому я бы сказал, что с моральной точки зрения ответ на этот вопрос положительный, но он слишком плохо определен, чтобы сказать что-то конкретное.

Могут ли классические корреляции быть созданы действием этого оператора на данное состояние как побочный продукт (в списке в случае смешанного состояния)?

Честно говоря, мне это совершенно непонятно.

Я слышал, что запутанность — не единственная форма квантовых корреляций.

Это верно. Вы, вероятно, захотите взглянуть на квантовый диссонанс как на основной пример таких корреляций.

Но так как в данный момент меня интересуют не экзотические состояния, а общие понятия, я буду игнорировать это знание. Если этой информацией нельзя пренебречь, пожалуйста, дайте мне знать.

Это зависит от того, что вы подразумеваете под «нельзя пренебрегать». Есть много важных концептуальных настроек, в которых нельзя пренебрегать информацией. Есть много важных концептуальных настроек, в которых это возможно. Некоторые примеры первого - это места, где квантовая контекстуальность является важным соображением, а теорема Кохена-Спеккера играет роль, аналогичную роли теоремы Белла в изучении запутанности. Некоторыми примерами последнего являются исследования запутанности. Какую сторону вы хотите слушать, это личный выбор.

$\underline{\text{Pure states:}}$

3. Никакое чистое (двудольное) государство не имеет классических соотношений между его подсистемами. Доказательство : если мы начнем с прямого состояния продукта$|A\rangle\otimes |B\rangle$ни один локальный оператор не сможет создать какие-либо корреляции между подсистемами. Поскольку классическая коммуникация приведет к созданию смешанного состояния, у нас нет вариантов.

Да это верно. Вас может заинтересовать чистота как теория квантовых ресурсов .

$\quad \cdot$Разложение Шмидта говорит нам, является ли данное чистое состояние запутанным (имеет квантовые корреляции) или сепарабельным.

Это верно.

$\underline{\text{Mixed states:}}$

4. Каждое смешанное двудольное состояние имеет классические соотношения между его подсистемами.

Нет, это неправильно. Чтобы получить контрпример, просто возьмите любые две смешанные матрицы плотности$\rho_A$и$\rho_B$, и установите$\rho = \rho_A\otimes \rho_B$как смешанное сепарабельное государство без классических соотношений между его подсистемами.

Доказательство . Любое смешанное состояние можно представить как смесь чистых состояний. Насколько я понимаю, это означает, что любую матрицу плотности можно диагонализовать. Диагональная матрица будет иметь собственные значения на диагонали. Из-за свойств матрицы плотности собственные значения$\lambda_{i} \in [0,1]$и их сумма всегда равна 1. Следовательно, эти собственные значения можно интерпретировать как вероятности, соответствующие некоторым чистым состояниям в смеси.

Пока так, но

Наличие хотя бы двух ненулевых собственных значений указывало бы на наличие классических корреляций между подсистемами.

Это ни из чего не следует. Изучите приведенный выше контрпример, чтобы понять, почему это не работает.

$\quad \cdot$Разделимость говорит нам, имеет ли данное смешанное состояние запутанность (то есть квантовые корреляции) или нет.

Запутанные состояния — это, по определению, те состояния, которые неразделимы. Так да. Но это говорит вам очень мало.

Для двудольной системы можно использовать так называемый критерий Переса-Городецкого.

Это один из возможных критериев, но он не является безошибочным при обнаружении запутанности. Другими словами, вы получаете вывод

$$\rho\text{ is separable} \implies \text{its partial transpose is positive semidefinite}$$ и его противопоставление $$\text{the partial transpose of }\rho\text{ is indefinite} \implies \rho\text{ is entangled},$$ но вы не получаете обратного, что было бы полезнее, т.е. возможно, что $\rho$запутан, но вы только что выбрали базис, в котором частичное транспонирование все еще положительно полуопределенно.