Какие математические знания необходимы для начала квантовой механики?

Может ли кто-нибудь опытный в этой области сказать мне, какие минимальные математические знания необходимо получить, чтобы понять вводную книгу/курс по квантовой механике?

У меня есть знания по математике, но я должен сказать, что в настоящее время они довольно плохие. Я прошла базовый вводный курс исчисления, линейной алгебры и теории вероятностей. Возможно, вы могли бы порекомендовать какие-нибудь книги, которые мне нужно прочитать, прежде чем я смогу начать с QM?

Легче чему-то научиться, если у вас есть в этом потребность, поэтому вы можете использовать свой интерес к QM, чтобы вдохновить себя на изучение математики.
Связанный с Math.SE вопрос: math.stackexchange.com/q/758502/11127
Существует множество различных математических уровней, на которых можно изучать квантовую механику. Вы можете изучать квантовую механику с помощью не более чем алгебры в средней школе; вы просто не будете изучать его на том же уровне математической глубины и сложности.

Ответы (6)

Я зависит от книги, которую вы выбрали для чтения. Но обычно достаточно некоторых основ исчисления, линейной алгебры, дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Например, если вы начнете с « Введения Гриффитса в квантовую механику »., автор любезно предоставляет вам обзор линейной алгебры в Приложении, а также некоторые основные советы по теории вероятностей в начале первой главы. Чтобы решить уравнение Шредингера (которое является (частным) дифференциальным уравнением), вам, конечно же, необходимо знать основы дифференциальных уравнений. Кроме того, со временем появятся некоторые специальные функции (например, полиномы Лежандра, сферические гармоники и т. д.). Но, опять же, во вводной книге, такой как книга Гриффитса, эти вещи объясняются подробно, так что у вас не должно возникнуть проблем, если вы внимательный читатель. Эта книга — одна из лучших для начала.

+1 за рекомендацию книги. Это было то, с чем меня учили, и это послужило отличной отправной точкой.

Вам не нужна никакая вероятность: вероятность, используемая в QM, настолько проста, что вы выбираете ее только из здравого смысла.

Вам нужна линейная алгебра, но иногда она рассматривается в самой книге или в приложении.

QM , кажется , использует функциональный анализ, т. е. бесконечномерную линейную алгебру, но правда в том, что у вас все будет хорошо, если вы поймете основы конечномерной линейной алгебры в обычном курсе линейной алгебры, а затем притворитесь , что все это верно для гильбертовых пространств, слишком.

Было бы неплохо, если бы вы прошли курс ОДУ, но правда в том, что большинство курсов ОДУ в наши дни не затрагивают единственную тему, которая вам нужна в КМ, а именно теорию Фробениуса для уравнений с регулярной особой точкой, поэтому большинство преподавателей квантовой механики переделывают частный случай этой теории, необходимой для атома водорода, к сожалению, но мудро полагая, что их ученики никогда не изучали ее. Обычный курс Calculus II охватывает основы ODE, такие как разделение переменных и прочее. Просмотрите его.

Я предлагаю использовать книгу Дирака по QM! Он использует очень мало математики и много физического понимания. Более раннее издание Дэвида Парка более стандартно и достаточно просто, и его можно понять с помощью одного курса линейной алгебры и Calc I, CalcII и CalcIII.

Книгу Дирака можно читать без предварительных знаний, +1, и она по-прежнему лучшая, но в ней нет интеграла по траекториям, а трактовка уравнения Дирака (по иронии судьбы) слишком старомодна. Я бы порекомендовал изучить матричную механику, которая быстро рассматривается в Википедии. Предпосылкой являются преобразования Фурье. Сакураи и Готфрид хороши, как и Мандельштам/Юрграу для интегралов по траекториям.
Есть история о Дираке. Когда было доказано, что паритет нарушен, кто-то спросил его, что он думает по этому поводу. Он ответил: «Я ничего не говорил об этом в своей книге». То, что вы упомянули, но не упомянутое в его книге, было бы хорошей идеей опустить. Интегралы по траекториям раздуваются, но это всего лишь математический трюк, не дающий никакого физического понимания, на самом деле они вводят в заблуждение. То же самое и с матричной механикой. Именно поэтому я до сих пор рекомендую Дирака для начинающих... Я даже не удивлюсь, если его трактовка КЭД во втором издании окажется более стойкой, чем у Фейнмана...
Матричная механика хороша тем, что дает интуитивное представление об элементах матрицы, например, сразу понимаешь, что оператор с постоянной частотой — это оператор повышения/понижения. Вы также понимаете полуклассическую интерпретацию недиагональных матричных элементов, это просто чахлые преобразования Фурье классических движений. Вы также понимаете, почему дипольный матричный элемент дает скорость перехода без квантования фотонного поля, просто полуклассически. Все это важные интуитивные догадки, которые были утеряны из-за того, что Шредингер превзошел Гейзенберга в массовой популярности.
Анекдот о P-нарушении состоит в том, что многие люди говорили, что P сохраняется просто по логической необходимости, в нескольких дрянных книгах по квантовой механике. Дирак отметил, что он никогда не говорил, что P является фундаментальной симметрией в своей книге, и действительно, он не приводил этого неправильного аргумента. Трактовка Дираком симметрии очень хороша, единственное место, которого не хватает в его книге, — это мотивация канонической коммутации. Исторически он получил это из интерпретации Гейзенбергом старого квантового правила. Современная версия принадлежит Шрёдингеру. Но я все еще думаю, что путь Гейзенберга наиболее убедителен.
Ваш комментарий об интегралах по путям глуп. Интеграл по путям объединяет Гейзенберга и Шредингера в один формализм, который автоматически становится релятивистским. Он дает аналитическое продолжение мнимого времени, что дает такие результаты, как СРТ, релятивистские регуляторы, стохастическая перенормировка, переходы второго порядка, духи Фадеева-Попова, суперсимметрия и тысячи других вещей, которые без него были бы практически невозможны. Интеграл пути частицы является источником формулировки S-матрицы и теории струн, методов унитарности и всего современного.
В частности, рассмотрим только один результат с доминированием интеграла по путям — операторное расширение произведения. Алгебра операторов Гейзенберга, очевидно, полезна в теории поля, но коммутационное соотношение не является явно ковариантным. Что такое ковариантные операторные отношения? Это все из интеграла по путям, это операторные произведения. OPE занимает центральное место в двумерной квантовой теории поля, которая важна как для струн, так и для статистической механики. Интеграл по траекториям является правильным формализмом для квантовой механики, и его исключение равносильно исключению законов Ньютона из классической механики.
@Ron Как бы то ни было, это вряд ли кто-то, начинающий QM, может или должен переварить.
@Lagerbaer: Вы правы. Но интеграл по траекториям с упором на случайные процессы доступен даже не изучающим квантовую науку. Квантовая версия проста, как только стохастическая версия усвоена.
@RonMaimon Мне приходилось учить случайным процессам и интегралам нормальных, бездарных людей. ИМХО, стохастические процессы считаются теорией вероятностей, одной из самых сложных частей, и интегралы по путям здесь новичкам тоже не помогут. Начинающему студенту все же лучше не ходить на курс вероятностей и пусть то, что они узнают о физике КМ, будет их введением в стохастические процессы... Я имею в виду, помимо того, что они уже узнали о стохастических процессах, играя в Змейки и Лестницы. . Это часть моей темы: сначала изучите физику, а потом математические приемы.
@Джозеф Ф. Джонсон: Я не уверен, что сказать --- если вы обучаете стохастическим процессам "нормальных людей" (и я не уверен, где вы найдете ненормальных людей, потому что таких людей не существует), у вас есть сказать в какой-то момент, что X(t), умноженное на dX/dt, зависит от временного порядка, а коммутатор (разность двух порядков) равен 1. Это коммутационное соотношение Гейзенберга в форме интеграла по траекториям, а также лемма Ито. Отношения между ними полностью интуитивны. Но минуту назад вы сказали, что думаете, что это математический трюк, а это не так.

Есть хорошая книга с очень длинным названием: «Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц» . Он делает основы довольно хорошо. Гриффит был бы следующим логическим шагом. После этого есть Шанкар .

Попробуйте эти две лекции Леонарда:

https://www.youtube.com/watch?v=5UqDb2BcxZk

https://www.youtube.com/watch?v=2STsUIHCaLU

Также больше на https://glenmartin.wordpress.com/home/leonard-susskinds-online-lectures/

PS: У меня нет никакого физического и математического образования, кроме нескольких основ. поэтому я не могу комментировать, если они были слишком простыми для вас ..

Попробуйте Outlines Шаума: квантовая механика, ISBN 0-07-054018-7. Вы увидите там математику, но вам нужно будет глубоко изучить всю математику из главы 2.

хорошая и дешевая книга

Хороший вопрос. Я не связан с физикой, и мне нужно изучать квантовую механику для будущих исследований, и, к сожалению, я не смог найти подробного ответа на stackex, в отличие от ответа Стива Дентона здесь .

Этот ответ — предложение Стива Дентона на веб-сайте Quora.

Вы можете заняться базовым, нерелятивистским QM на начальном уровне со следующими предпосылками:

Линейная алгебра (в основном векторная алгебра и матричная алгебра, и особенно включая собственные векторы и собственные значения, которые являются абсолютно центральными в QM) Комплексные числа (особенно представление и обработка комплексных чисел в терминах комплексных экспоненциальных функций, а также представление волн с использованием тех же ) Дифференциальное и интегральное исчисление одной переменной, включая обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные вероятности и статистика. Множество специальных понятий и математических функций, которые возникают в элементарной КМ (например, операторная алгебра, гильбертово пространство, эрмитовы сопряжения, скалярные произведения, многочлены Эрмита, дельта-функции, скобочная нотация Дирака, проекционные операторы и т. д.) будут представлены вам во время изучения QM, поэтому они не являются предварительными условиями как таковые.

Для нерелятивистского QM среднего/продвинутого уровня вам понадобится как минимум несколько дополнительных вещей:

Уравнения в частных производных Сферические полярные координаты (часто используемые в атомной и ядерной физике) Специальные функции (например, многочлены Лежандра и родственные функции) Комплексный анализ (особенно исчисление вычетов, т.е. комплексное интегрирование) Функции Грина Анализ Фурье Теория групп Хорошее знакомство с классической аналитическую механику, как гамильтонову, так и лагранжеву формулировки, а также принцип наименьшего действия также было бы очень полезно приобрести на этом этапе, поскольку они являются абсолютно центральными идеями и методами в любой продвинутой физике, и особенно в квантовой теории поля.

Для релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля вам понадобятся, как минимум, следующие основные вещи:

Вариационное исчисление или вариационное исчисление (и его приложения через принцип наименьшего действия в классической аналитической механике). некоторое знание как этого, так и общей теории относительности может иногда пригодиться и, безусловно, понадобится, если вы хотите углубиться в такие области, как квантовая космология, теория струн, квантовая гравитация и т. д.)

В дополнение к этому вам могут помочь глубокие знания классической механики, поскольку классическая механика является обязательной в формализмах Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона-Якоби.

Какие математические знания необходимы для начала квантовой механики?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v