Какое наиболее общее выражение для координатного представления оператора импульса?

Question

Какое наиболее общее выражение для координатного представления оператора импульса?

Физика
импульс
операторы
коммутатор
квантовая механика
Дирак-дельта-распределения

пользователь26143

У меня есть вопрос о выводе координатного представления оператора импульса из канонического коммутационного соотношения,

[Икс, п] "=" я .

$[x,p]= i.$

Один вывод (ссылка W. Greiner's Quantum Mechanics: An Introduction, 4th edi, p442) выглядит следующим образом:

⟨ Икс | [Икс, п] | у ⟩ "=" ⟨ Икс | Икс п - п Икс | у ⟩ "=" (Икс - у) ⟨ Икс | п | у ⟩ .

⟨ x | [x, p] | y ⟩ = i ⟨ x | y ⟩ = i δ (x - y)

$\langle x|[x,p]|y \rangle = i \langle x|y \rangle = i \delta (x-y)$ . Таким образом

\begin{matrix} (1) & (Икс - у) ⟨ Икс | п | у ⟩ "=" я дельта (Икс - у) . \end{matrix}

$(x-y) \langle x|p|y \rangle = i \delta(x-y). \tag{1}$

Мы используем $(x-y) \delta(x-y) = 0$ . Возьмем производную по $x$ ; у нас есть $\delta(x-y) + (x-y) \delta'(x-y) = 0$ . Таким образом

\begin{matrix} (2) & (Икс - у) {дельта}^{'} (Икс - у) "=" - дельта (Икс - у) . \end{matrix}

$(x-y) \delta'(x-y) = - \delta(x-y). \tag{2}$

Сравнивая уравнения. (1) и (2), мы отождествляем

\begin{matrix} (3) & ⟨ Икс | п | у ⟩ "=" - я {дельта}^{'} (Икс - у) . \end{matrix}

$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y). \tag{3}$

Кроме того, мы можем добавить $\alpha \delta(x-y)$ в правой части уравнения. (3), т.е.

⟨ Икс | п | у ⟩ "=" - я {дельта}^{'} (Икс - у) + α дельта (Икс - у),

$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y) + \alpha \delta(x-y),$ и

[x, p] = i

$[x,p] = i$ до сих пор доволен. Мы также можем добавить

\frac{β}{\sqrt{| Икс - у |}} дельта (Икс - у)

$\frac{\beta}{\sqrt{|x-y|}}\delta(x-y)$ на правой стороне уравнения. (3). Здесь

α

$\alpha$ и

β

$\beta$ два действительных числа.

Мой вопрос в том, что является наиболее общим выражением $\langle x|p|y \rangle$ ? Всегда ли мы можем включить дополнительный член в фазовый фактор, как это сделали в книге Дирака по квантовой механике?

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/53252/2451 и ссылки в нем.

пользователь26143

Спасибо за ссылку! По ссылке выше кажется

\frac{β}{\sqrt{| x - y |}} δ (x - y)

$\frac{ \beta}{ \sqrt{|x-y|}} \delta(x-y)$ плохо определен в происхождении. Тем не менее даже мы исключаем эту возможность, как найти наиболее общее выражение координатного выражения оператора импульса? Может быть, это просто отсутствие воображения, что есть что-то еще, кроме

α δ (x - y)

$\alpha \delta(x-y)$ .

α (x - y)^{n} δ (x - y)

$\alpha (x-y)^n \delta(x-y)$ ,

n > 0

$n>0$ не считается, так как

α (x - y)^{n} δ (x - y) = 0

$\alpha (x-y)^n \delta(x-y)=0$ .

Ответы (2)

Какое наиболее общее выражение для координатного представления оператора импульса?

Связано: physics.stackexchange.com/q/53252/2451 и ссылки в нем.
Спасибо за ссылку! По ссылке выше кажется $\frac{ \beta}{ \sqrt{|x-y|}} \delta(x-y)$ плохо определен в происхождении. Тем не менее даже мы исключаем эту возможность, как найти наиболее общее выражение координатного выражения оператора импульса? Может быть, это просто отсутствие воображения, что есть что-то еще, кроме $\alpha \delta(x-y)$ . $\alpha (x-y)^n \delta(x-y)$ , $n>0$ не считается, так как $\alpha (x-y)^n \delta(x-y)=0$ .

Qмеханик · Answer 1

Начнем с упоминания пары стандартных формул

\begin{matrix} (1) & ψ (Икс) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩, \end{matrix}

$\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle, \tag{1}$

и

\begin{matrix} (2) & ⟨ Икс | у ⟩ "=" дельта (Икс - у) . \end{matrix}

$\langle x | y \rangle ~=~\delta(x-y).\tag{2}$

Каноническое коммутационное соотношение (CCR)

\begin{matrix} (3) & [\hat{Икс}, \hat{п}] "=" я ℏ 1 . \end{matrix}

$[\hat{x}, \hat{p}] ~=~i\hbar{\bf 1}.\tag{3}$

Стандартное представление позиции Шредингера гласит:

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \hat{Икс} "=" & Икс, \\ \hat{п} "=" & - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \hat{x}~=~&x, \cr \hat{p}~=~&-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.\end{align}\tag{4}$

Стандартное позиционное представление Шредингера (4) можно сопрячь унитарным оператором $\hat{U}=e^{-if(\hat{x})}$ , где $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ — заданная дифференцируемая функция. Таким образом, мы получаем унитарное эквивалентное представление положения

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \hat{Икс} "=" & Икс, \\ \hat{п} "=" & - я ℏ е^{- я ф (Икс)} \frac{\partial}{\partial Икс} е^{я ф (Икс)} \\ "=" & - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс} + ℏ ф^{'} (Икс), \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\hat{x}~=~&x, \cr \hat{p} ~=~&-i\hbar e^{-if(x)}\frac{\partial}{\partial x}e^{if(x)}\cr ~=~&-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+ \hbar f^{\prime}(x),\end{align}\tag{5}$

ЦКР (3). Стандартное позиционное представление Шрёдингера (4) соответствует $f\equiv {\rm const}$ . Общее неприводимое представление CCR (3) см. в теореме Стоуна-фон Неймана .

Из представления (5) следует

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} ⟨ Икс | \hat{п} | ψ ⟩ "=" & (\hat{п} ψ) (Икс) \\ "=" & - я ℏ е^{- я ф (Икс)} (е^{я ф} ψ)^{'} (Икс) \\ "=" & - я ℏ ψ^{'} (Икс) + ℏ ф^{'} (Икс) ψ (Икс) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \langle x | \hat{p} |\psi \rangle~=~&(\hat {p} \psi)(x)\cr ~=~&-i\hbar e^{-if(x)}(e^{if}\psi)^{\prime}(x)\cr ~=~&-i\hbar\psi^{\prime}(x)+ \hbar f^{\prime}(x)\psi(x). \end{align}\tag{6}$

Из (6) заключаем, что элементы матрицы импульса имеют вид

\begin{matrix} (7) & ⟨ Икс | \hat{п} | у ⟩ "=" - я ℏ {дельта}^{'} (Икс - у) + ℏ ф^{'} (Икс) дельта (Икс - у) \end{matrix}

$\langle x | \hat{p} |y \rangle~=~-i\hbar\delta^{\prime}(x-y)+ \hbar f^{\prime}(x)\delta(x-y)\tag{7}$

в представлении (5).

Наконец, здесь и здесь два других сообщения Phys.SE, в которых также обсуждаются неоднозначности в $x\leftrightarrow p$ перекрывается.

Тримок · Answer 2

В единицах $\hbar=1$ , от $\langle p|p' \rangle = \delta(p-p')$ и $\langle x|p \rangle = \frac {1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i px}$ , Вы получаете :

$\langle x|\hat p|y \rangle = \int_{|p>,|p'>} \langle x|p\rangle \langle p|\hat p|p'\rangle \langle p'|y\rangle = \frac {1}{2 \pi} \int_{|p>,|p'>} e^{ipx} p' \langle p|p' \rangle e^{-ip'y}$ $= \frac {1}{2 \pi} \int dp~ p ~e^{ip(x-y)} = - i\partial_x \frac {1}{2 \pi}\int dp~ e^{ip (x - y)} = -i\delta'(x-y)$

$\langle x | p \rangle = \frac{1}{2\pi} e ^{ipx}$ происходит от $\hat{p}= - i\frac{ \partial}{\partial x}$

Какое наиболее общее выражение для координатного представления оператора импульса?

пользователь26143

Qмеханик

пользователь26143

Ответы (2)

Qмеханик

Тримок

пользователь26143

Оператор перевода и основа позиции

Матричные элементы оператора импульса в позиционном представлении

Вывод математического ожидания [X^,H^][X^,H^][\hat X,\hat H]

Вывод канонического коммутаторного соотношения положение-импульс

Как построить радиальную составляющую оператора импульса?

Фиксирует ли каноническое коммутационное соотношение вид оператора импульса?

Квантово-механический аналог сопряженного импульса

Диагональ оператора импульса в позиционном представлении?

Правдоподобие соотношений Вейля положения и импульса - физический смысл группы Гейзенберга

EOM Гейзенберга для ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle в собственном состоянии импульса - где моя ошибка?