Фиксирует ли каноническое коммутационное соотношение вид оператора импульса?

Вы уже получили «практические» ответы, поэтому я намерен ответить с другой точки зрения.

Существует довольно известная теорема Стоуна и фон Неймана, позже улучшенная Маккеем и, наконец, Диксмьером и Нельсоном, грубо говоря, устанавливающая следующий результат в самой элементарной версии. (Другая версия теоремы фокусируется на унитарных группах, порожденных$X$и$P$избегая проблем с доменами, однако здесь я придерживаюсь версии с самосопряженным оператором.)

ТЕОРЕМА. (грубая формулировка "для физиков") Если у вас есть пара самосопряженных операторов$X$и$P$определенный в гильбертовом пространстве$H$такие, которые сопряжены друг с другом:

(Строгое утверждение в этой нельсоновской версии читается следующим образом

ТЕОРЕМА. Позволять$X$и$P$— пара самосопряженных операторов в комплексном гильбертовом пространстве$H$такие, что (а) они проверяют (1) на общем инвариантном плотном подпространстве$S\subset H$, (б)$X^2+P^2$по существу является самосопряженным на$S$и (c) все векторы в$S$цикличны для$X$и$P$. Тогда существует унитарный оператор$U : L^2(\mathbb R, dx)\to H$такие, что (2) справедливы для$\psi \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$.

Обратите внимание, что операторы, определенные в правой части (2), допускают уникальные самосопряженные расширения, поэтому они полностью фиксируют операторы, представляющие соответствующие наблюдаемые. Мы можем с равным успехом заменить$C_0^\infty(\mathbb R)$для пространства Шварца${\cal S}(\mathbb R)$в последнем утверждении.)

За исключением технических деталей, все это означает, что коммутационные соотношения фактически фиксируют наблюдаемые положение и импульс, а также гильбертово пространство. Например, ссылаясь на ответ Мурода Абдухакимова, если добавление$\partial f$к стандартным выражениям$X$и$P$порождает истинно самосопряженные операторы, то унитарное преобразование (как раз то, что связывает$\psi$к$\psi'$в ответе Мурода Абдухакимова) избавляется от деформации, восстанавливая стандартное выражение. Помните, что унитарные преобразования не изменяют все физические объекты КМ.

Результат распространяется на$\mathbb R^n$, т. е. о частицах в пространстве для$n=3$. Отбрасывая требование несводимости, этот тезис в любом случае остается верным, но$H$разложить в прямую сумму (не прямой интеграл!) замкнутых подпространств, где справедливо сильное утверждение.

Из этой фундаментальной теоремы вытекают важные следствия. Прежде всего$H$должен быть разделяемым, как$L^2(\mathbb R,dx)$является. Тем более нет оператора времени$T$(сопряженный с оператором Гамильтона$H$) существует, если оператор Гамильтона id ограничен снизу, как того требует физика. Последнее утверждение связано с тем, что теорема фиксирует спектры$X$и$P$как целые вещественные оси в обоих случаях, так что спектр$H$не будет ограничено снизу, если$T,H$были сопряженной парой операторов. Аналогичная теорема о невозможности возникает относительно квантования частицы на окружности, когда кто-то пытается определить самосопряженные операторы положения и импульса. Попытка решить эти отрицательные результаты привела к более общей формулировке квантовой механики, основанной на понятии POVM, и в конечном итоге оказалась очень полезной в других контекстах, таких как квантовая теория информации.

Важным наблюдением является то, что результат Стоуна-фон-Неймана-Маккея-Диксмайера-Нельсона не работает при работе с бесконечномерными системами. То есть, грубо говоря, перейти от (симплектического пространства) конечного числа частиц к (симплектическому пространству) поля. В этом случае канонические коммутационные соотношения$X_i$и$P_j$заменены квантовыми полями. Например:,

или более сложные их версии. При этом существует бесконечно много представлений алгебры наблюдаемых, которые не могут быть связаны унитарными операторами. Это хорошо известное явление в КТП или квантовой статистической механике (в термодинамическом пределе). Например, свободная теория и теория взаимодействия данного квантового поля не могут быть представлены в одном и том же гильбертовом пространстве, если принять стандартные требования к состояниям и наблюдаемым (так называемая теорема Хаага, и это глубокая причина, по которой формализм LSZ использует слабую топологию). вместо сильного, как в стандартной квантовой теории рассеяния).

Если включить заряды суперотборов в алгебру наблюдаемых, автоматически возникают неунитарно эквивалентные представления алгебры, приводящие к секторам.

В КТП в искривленном пространстве-времени появление неэквивалентных представлений алгебры наблюдаемых является довольно распространенным явлением из-за наличия кривизны пространства-времени.

Нет. Вы можете добавить произвольный постоянный сдвиг (или произвольный оператор, коммутирующий с$x$), не затрагивая CCR.

Для 1-мерной КМ общее решение CCR с$\hat x$представлен как умножение на$x$о волновых функциях с аргументом$x$является$\hat p=\hat p_0-A(\hat x)~~$, куда$\hat p_0$— канонический оператор импульса, а$A(x)$является произвольной функцией$x$.
Доказательство. Различия$\hat A:=\hat p_0-\hat p~$коммутирует с$\hat x$, следовательно, является функцией$\hat x$.

В более общем случае это может быть:

$p_x = -ih\frac{∂}{∂x}+\frac{∂f}{∂x}$

$p_y = -ih\frac{∂}{∂y}+\frac{∂f}{∂y}$

$p_z = -ih\frac{∂}{∂z}+\frac{∂f}{∂z}$

куда$f(x,y,z)$- произвольная функция.

Но вы также можете заменить волновую функцию$\psi'=e^{-\frac{i}{h}f(x,y,z)}\psi$который возвращает вас к традиционной форме.

Похоже на калибровочное преобразование, не так ли?