Как построить радиальную составляющую оператора импульса?

Вы должны были бы использовать тот факт, что оператор импульса в позиционном пространстве$\vec{p} = -i\hbar\vec{\nabla}$и используем определение оператора градиента в сферических координатах:

$$\vec{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$

Таким образом, радиальная составляющая импульса равна

$$p_r = -i\hbar\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}$$

Однако: после небольшого расследования, вызванного комментариями, я обнаружил, что на практике это не очень часто используется. Полезнее иметь оператора$p_r'$что удовлетворяет

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 R(r) = \frac{p_r'^2}{2m} R(r)$$

Это позволяет вам записать радиальную составляющую не зависящего от времени уравнения Шредингера как

$$\biggl(\frac{p_r'^2}{2m} + V(r)\biggr)R(r) = E R(r)$$

Действие радиальной составляющей лапласиана в 3D:

$$\nabla^2 R(r) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2\frac{\partial R(r)}{\partial r}\biggr)$$

а если решить за оператора$p'_r$который удовлетворяет приведенному выше определению, вы получите

$$p'_r = -i\hbar\biggl(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\biggr)$$

Это называется «оператор радиального импульса». Строго говоря, она отличается от «радиальной составляющей оператора импульса», которая по определению равна$p_r$как я уже писал выше, хотя я не удивлюсь, если обнаружу, что люди довольно часто смешивают терминологию.

Я смог понять это, так что вот уточнение для записи.

Классически

$$p_r=\hat{D}_r = \frac{\hat{r}}{r} \cdot\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r}$$

Однако$\hat{D}_r$не является эрмитовым. Рассмотрим сопряженный

$$\hat{D}_r^\dagger= \hat{p}\cdot\frac{\hat{r}}{r} =\frac{\hbar}{i} \left ( \frac{\partial}{\partial r}+\frac{2}{r} \right )$$

Теперь мы знаем из линейной алгебры, как построить эрмитов оператор из оператора и его сопряженного:

$$\hat{p}_r = \frac{\hat{D}_r^\dagger+\hat{D}_r}{2}=\frac{\hbar}{i} \left ( \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \right )$$

И кстати, для тех, кто последовал моему первоначальному вопросу, не делайте следующую ошибку в расчетах, которую я совершил:

$$\hat{p}_r = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r}(\vec{r}\cdot\vec{p})+(\vec{p}\cdot\vec{r})\frac{1}{r}\right)\neq \frac{1}{2}\frac{1}{r}(\vec{r}\cdot\vec{p}+\vec{p}\cdot\vec{r})$$

Даже в одном измерении оператор$p_r=-i\partial_r$на полулинии$r>0$имеет индексы дефицита$(0,1)$. Таким образом, невозможно определить его как самосопряженный оператор. На практике это абстрактное математическое утверждение означает, что не существует набора граничных условий, которые мы могли бы наложить на волновую функцию.$\psi(r)$которые приводят к полному набору собственных функций для$p_r$. Например, интегрирование по частям для доказательства формальной эрмитовости требует, чтобы$\psi(0)=0$но все потенциальные собственные функции имеют вид$\psi_k(r)=\exp\{ikr\}$для некоторого реального или сложного$k$, и нет значения$k$может сделать$\psi_k(0)$быть нулем.

Поскольку нужны собственные функции и собственные значения, чтобы присвоить вероятность результату измерения$p_r$это значит, что$p_r$не является «наблюдаемым».

1D действительно не подходит для радиального оператора (а если его использовать, то он соответствует полупрямой с граничным условием отражения при x = 0, а затем граничный член там обращается в нуль, поэтому снова h / i * d / dr эрмитов). Но в более высоких измерениях, например 3, нужно думать о внутреннем продукте с$r^2$весовая функция, поэтому она отменяет граничный член. Конечно, это дает другой член при интегрировании по частям, и поэтому$d/dr$в одиночку, если недостаточно для отшельничества.

Конечно, это соответствует и тому факту, что «плоская волна» в радиальной координате имеет некоторую функцию$r$в знаменателе из-за сохранения энергии, например$e^{ikr}/r$в 3D.

Также см. эту замечательную статью, в которой описывается провал этого подхода в 2D.