Правдоподобие соотношений Вейля положения и импульса - физический смысл группы Гейзенберга

В этом вопросе я спросил об уникальности оператора импульса п ^ для данной позиции оператора Икс ^ , и была ли единственность зафиксирована коммутационными соотношениями, которым должны удовлетворять положение и импульс. В ответе указывалось, что уникальность была дана не только коммутационными соотношениями, но вместо этого, если я требую, чтобы они сохранялись в экспоненциальной форме (так называемые соотношения Вейля):

е я Икс ^ т е я п ^ с "=" е − я т с е я п ^ с е я Икс ^ т
С с , т являющиеся действительными числами. Далее было заявлено, что если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля, то они также порождают группу Гейзенберга.

Теперь я знаю, что либо спрос на представление группы Гейзенберга, либо спрос на операторов Икс ^ и п ^ для выполнения операций Вейля однозначно определяет один из операторов, если задан другой. Это приводит меня к моему вопросу: есть ли правдоподобие соотношений Вейля или какая-либо интерпретация, связанная с этими соотношениями? Я ищу интуитивную причину, по которой операторы удовлетворяют этим отношениям, помимо очевидной причины «Это работает».

Я мог бы спросить то же самое о группе Гейзенберга: почему должно быть интуитивно понятно, что набор наблюдаемых каким-то образом связан с этой группой? Имеет ли это отношение к аргументам симметрии? Например, может ли быть так, что определенные симметрии могут быть представлены только в том случае, если Икс ^ и п ^ не порождают группу Гейзенберга?

Приведу пример, который был бы для меня удовлетворительным ответом: в электродинамике мы имеем свойство линейности уравнений. Хотя это довольно математическое утверждение, оно переводится в очень интуитивную и правдоподобную концепцию, согласно которой можно наложить два решения, и в результате снова получится решение. Было бы неплохо, если бы что-то подобное можно было указать в отношении отношения Вейля / группы Гейзенберга.

Ответы (1)

Я не уверен, что считать интуицией удовлетворительной или нет для КМ... Вейль в своей статье 1927 года оценил, что алгебра Ли Гейзенберга должна возводить в степень группу, группу перемещений и местоположений часов с n часами, игрушечного архетипа гильбертовом пространстве и взял предел в бесконечные часы с подходящим масштабированием — «неправильное» масштабирование привело бы к С U ( ∞ ) , таким образом, скобки Пуассона и классическая механика, а не гильбертово пространство QM, движения которого изучаются здесь.

Я не могу избежать ловушки «просто так», но позвольте мне попытаться упорядочить факты, надеясь, что это поможет их размышлениям друг о друге обостриться.

Как главарь обвинения Группенчум 20-х годов, Вейль исследовал группу, возникшую в результате возведения в степень алгебры Ли,

[ Икс ^ , п ^ ] "=" я ℏ ,
поэтому с общими унитарными групповыми элементами
е я т Икс ^ + я с п ^ + я ℏ ты "=" е я ( ты + с т ℏ / 2 ) е я т Икс ^ е я с п ^ ,
с достаточными одноименными отношениями плетения (тождества умножения элементов группы, (26) в Weyl op.cit.), которые вас интересуют,
е я т Икс ^ е я с п ^ "=" е − я т с ℏ е я с п ^ е я т Икс ^ .
(Достаточно в том смысле, что дифференцируя их по s и t и устанавливая эти параметры и u равными 0, отклонение от начала координат восстанавливает коммутационное соотношение алгебры Ли.) Эти тождества, прямые следствия правил композиции CBH алгебры Гейзенберга, содержат все, что вам нужно знать для оценки групповых действий на векторах QM. Двух выбранных групповых элементов достаточно, чтобы указать все фазовое поведение квантовой механики.

Они действуют унитарно на функции, например, от x , как

е я с п ^ ψ ( Икс ) "=" ψ ( Икс + ℏ с ) ,
оператор сдвига Лагранжа , (51) по Вейлю. Например, сохраняющийся нётеровский заряд в трансляционно-симметричной теории дал бы этот генератор импульсной симметрии.

Менее известное действие — перефазировка показаний часов (50) у Вейля,

е я т Икс ^ ψ ( Икс ) "=" е я т Икс ψ ( Икс ) ,
и, конечно же, постоянная перефазировка iu через центральный элемент.

На этом уровне у меня действительно не так много интуиции для последнего, кроме оригинального «вот!» Вейла. аналогия в его разделе 8 с конечной матрицей часов Σ 3 Сильвестра (1882 г.), диагональной матрицы с постоянной фазой в каждой записи, увеличивающей свою фазу по порядку. Вы можете подумать о часах с экспоненциальными часовыми фазами. Оператор перевода, конечно, Σ 1 , сдвиг матрицы на час. В осторожном пределе бесконечного часа можно восстановить свои операторы, а логарифмы этих операторов (да, есть оригинальный метод их получения) восстановить алгебру Гейзенберга с помощью знаменитого аргумента Сантанама и Текумаллы 1976 ; чистая магия: бесследная правая сторона становится бесследовой идентичностью! Но это совсем другой увлекательный вопрос.

Я думаю, что Вейл всегда лелеял эту интуицию (он воспевал ее в своей книге, ссылка на которую приведена выше), и она действительно помогла мне в нескольких логических затруднениях... Вы можете попробовать, а можете и нет...

Правдоподобие соотношений Вейля положения и импульса - физический смысл группы Гейзенберга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v