В классической механике мы определяем понятие канонического импульса, сопряженного с данной обобщенной координатой положения. Эта величина является частной производной лагранжиана системы по обобщенной скорости.
Мой первый вопрос заключается в следующем:
Учитывая квантово-механическую систему (полностью заданную квантово-механическим гамильтонианом) и заданный обобщенный оператор «положения» (что не обязательно может быть простым или координата), существует ли систематический процесс вывода квантово-механического оператора , аналогичный каноническому сопряженному импульсу к ?
Мой второй вопрос:
При условии, что существует для данного , это правда, что ? Так же, как это верно для частного случая оператора линейного импульса и оператора линейного положения?
я продолжаю читать это считается постулатом квантовой механики. Однако, если ДЕЙСТВИТЕЛЬНО существовал систематический процесс получения P из заданного , то - при заданном , (и , если это уместно) - вы должны быть в состоянии убедиться, что это так.
Заранее благодарим вас за любую помощь, которую вы, ребята, можете предложить. Эти вопросы сводили меня с ума.
Краткое объяснение:
При переходе от классической лагранжевой (скажем, нерелятивистской точечной) механики к квантовой механике существует промежуточный этап, известный как классическая гамильтонова механика .
Чтобы перейти к промежуточному шагу, необходимо выполнить преобразование Лежандра , где являются (обобщенными) переменными канонического фазового пространства .
Обратите внимание, в частности, что хотя обобщенный импульс определяется как в лагранжевой механике обобщенный импульс является свободной переменной в гамильтоновой механике (пока преобразование Лежандра не является сингулярным).
В классическом гамильтоновом формализме и удовлетворяют соотношениям канонической скобки Пуассона
В процессе квантования скобочные соотношения Пуассона заменяются каноническими коммутационными соотношениями . (Эта часть того, что известно как принцип соответствия между классической и квантовой механикой.)
В позиционном представлении и . (Это представление известно как представление Шредингера. См. также теорему Стоуна-фон Неймана .)
Петр Кравчук
Qмеханик