Определение группы, связанной с данным потенциалом?

Это, по общему признанию, неполный ответ, поскольку я не работаю в такой физике, но можно указать на пару вещей. Во-первых, какие симметрии вы ищете? Это одномерный пример, и он не периодический, поэтому, если вы не ищете чего-то сумасшедшего, проще всего искать аффинную симметрию формы$V(\alpha x+\beta)=V(x)$. Картинки могут помочь:

Plot[x^1 + x^2 + x^4, {x, -1.5, 1.4}]
Plot[-x^1 - x^2 + x^4, {x, -1.5, 1.7}]
Plot[-x^2 + x^4, {x, -1.7, 1.7}]

Можно предположить, что функции либо не обладают аффинной симметрией, либо обладают симметрией отражения. Я не буду это доказывать, но приведу код (объяснение можно найти в разделе комментариев), который показывает, что это так для различных входов$A_1,A_2$, и$A_4$(очевидно$A_0$не имеет значения):

rule = x -> (a x + b); rule2 = {A1 -> 6, A2 -> 3, A4 -> 1}; 
Reduce[(((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 1) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 2) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 3), {a, b}]

Вы получите либо только идентичность, либо преобразование идентичности и четности для большинства значений$A_1,A_2,A_4$. Если кто-нибудь знает более строгий способ показать это или видит, что то, что я написал, неверно, обязательно отправьте сообщение. Я думаю, вы можете доказать это, заметив, что если вы предполагаете, что группа симметрии конечна (что кажется разумным), то вы также должны иметь, что множество${x,T(x),T(T(x)),...}$конечно, где$T(x)=\alpha x+\beta$. С$T^n(x)=\alpha^n x+\frac{\alpha^n-\alpha}{\alpha-1}\beta=x$для некоторого значения$n$, Вы должны иметь$\alpha$быть корнем единства.

Если временно исключить возможность комплекснозначной позиции, то из этого следует, что единственные возможные значения$\alpha$являются$\pm 1$.

Если$\alpha=1$, то поскольку потенциал не является трансляционно-инвариантным, необходимо иметь$\beta=0$, дающий тождественное преобразование.

Если$\alpha=-1$, то немного сложнее, но интуитивно очевидно, что$\beta=0$единственная возможность, так как потенциал визуально инвариантен с точностью до переноса при отражении тогда и только тогда, когда$A_1=0$. Таким образом, вы получаете равенство, если и только если$A_1=0$.