Источник лестничных операторов

Это может быть глупый вопрос, но мне любопытно, откуда берутся лестничные операторы в квантовой механике. Например, во вводных текстах по квантовой механике они пытаются решить проблему собственного значения/собственного состояния для углового момента. В процессе вы найдете коммутационные соотношения

[ С я , С Дж ] "=" я ℏ ϵ я Дж к С к ,
и так далее. Затем мы знакомимся с так называемыми «лестничными операторами».
С ± "=" С Икс ± я С у
и использовать это, чтобы вычислить еще кучу коммутаторов и получить в конце наш результат. Однако эти лестничные операторы просто появились из ниоткуда, их передали нам. Есть ли в них более глубокий смысл в каком-то смысле, или, скорее, откуда они берутся?

Ответы (4)

Происхождение лестничных операторов — теория представлений групп Ли и алгебр Ли .

Группы Ли представляют собой наборы непрерывных преобразований с групповой структурой . Каждое непрерывное преобразование данной группы идентифицируется как элемент группы. В физике эти элементы или преобразования важны, потому что они отображаются в преобразованиях симметрии, таких как симметрия вращения, которая дает начало группе вращения. Последнее имеет отношение к теории углового момента.

Из-за гладкого характера этих множеств (на самом деле группы Ли являются многообразиями) можно изучить небольшую область рядом с единицей группы и увидеть, как натянуто многообразие. Это делается через так называемые генераторы группы. Эти образующие удовлетворяют некоторым условиям, в частности коммутационным соотношениям, и образуют алгебру Ли . Бывает, что большую часть информации о группе (хотя и не всю) можно получить, просто изучая алгебру (то есть локальную структуру группы).

Многие из наиболее важных алгебр Ли в физике представляют собой так называемые компактные полупростые алгебры Ли. Для этих алгебр можно разложить образующие на два подмножества: алгебра Картана (максимальное множество линейно независимых образующих ЧАС я которые коммутируют между собой) и ступенчатые или лестничные операторы Е α . В целом они удовлетворяют

[ ЧАС я , Е α ] "=" α я Е α ,
и свойства этих образующих можно использовать для классификации всех возможных компактных и простых алгебр Ли.

Образующие, как и любой элемент (групповой или алгебраический), в принципе абстрактны и определяются только своими действиями (например, заданным вращением) или своими коммутационными соотношениями. Чтобы сделать вещи более явными или (что еще более важно) для того, чтобы «сопоставить» эти группы и алгебру с физическими теориями, необходимо принять определенное представление.

Учитывая линейное представление , группы или элементы алгебры теперь отображаются в линейные операторы, которые действуют на линейных пространствах. Векторы этого линейного пространства обычно отождествляются с физическими состояниями, поэтому важно найти линейно независимые векторы. Это достигается теорией представлений почти таким же образом для любой компактной полупростой алгебры Ли, с помощью лестничных операторов. Последовательно воздействуя ими на данное состояние, мы можем получить все состояния теории (или все состояния представления).

+1 Очень информативный ответ, я давно хотел узнать больше о связях, которые вы описали. Если вы когда-нибудь напишете учебник, пожалуйста, дайте мне знать :)

Представьте, что у вас есть электрон, который находится в состоянии покоя. Мы знаем, что у электрона есть два возможных значения для измерения его спина в направлении z: +1/2 и -1/2. Тогда гильбертово пространство для описания электрона имеет два базисных состояния: | + ⟩ и | − ⟩ которые удовлетворяют С г | ± ⟩ "=" ± ℏ 2 | ± ⟩ .

Теперь предположим, что мы знаем, что электронная система излучает фотон, и, в частности, она излучает фотон с круговой поляризацией в направлении z. Затем этот фотон уносит одну единицу углового момента в направлении z. Каково конечное состояние спина электрона? Оно должно быть на единицу меньше, чем раньше.

Таким образом, возникает вопрос, какой оператор связан с этим фотонным процессом? Какой оператор переводит нас из начального состояния электрона в конечное состояние электрона? Мы ищем О такой, что | е ′ ⟩ "=" О | е ⟩ . Каким бы ни был оператор, он должен снизить С г значение на одну единицу. То есть, С г | е ′ ⟩ "=" ( с г , я − 1 ) | е ′ ⟩ . Чтобы это устроить, нам нужно С г О | е ⟩ "=" О С г | е ⟩ − О | е ⟩ , для всех возможных начальных | е ⟩ . Это означает, что [ С г , О ] "=" − О .

Можем ли мы построить оператор, обладающий этим свойством? Ответ да: О "=" С Икс − я С у делает работу. Аналогично можно найти оператор, увеличивающий спин на единицу: [ С г , С + ] "=" + С + . Фотоны, уносящие угловой момент в направлении +z, должны соединяться в гамильтониане, чтобы С − и фотоны, несущие угловой момент в направлении -z, соединяются с С + .

Это физическая мотивация для повышения и понижения операторов. Есть также очень важные математические мотивы. Оказывается, многие полезные операторные алгебры могут быть полностью поняты в терминах диагональных операторов (таких как С г ) и операторы повышения и понижения, которые перемещаются между различными собственными состояниями.

В основном это возникает, когда у нас есть коммутационное соотношение оператора спина и оператора лестницы (мы пришли к результату)

[ С г , С + ] "=" С +
(я использовал только С г и С + в обычных средствах) Теперь нам нужен был оператор, удовлетворяющий этому соотношению. С другой стороны имеем
Дж 2 − Дж г "=" Дж Икс 2 + Дж у 2
Факторинг RHS получаем
Дж Икс 2 + Дж у 2 "=" ( Дж Икс + я Дж у ) ( Дж Икс − я Дж у ) − ℏ Дж г
(Здесь у нас был лишний член ℏ Дж г ) но по хитрости Дж Икс + я Дж у и Дж Икс − я Дж у удовлетворяют коммутационному соотношению. Из чего мы узнали, что это лестничные операторы для вращения и где каждый является эрмитово сопряженным другим.

Обратите внимание, что

[ С ± , С г ] "=" ± 2 С г
Это означает, что генераторы С ± имеют четко определенный «изоспин» (т. е. квантовое число, связанное с генератором С г ). Это важно, когда мы работаем с собственными состояниями С г .

Источник лестничных операторов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v