Где выражение Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle для частичной трассировки?

Разумным определением частичной трассировки является следующее. Для любых ортонормированных базисных наборов$|a_i\rangle$и$|b_i\rangle$для$\mathcal H_a$и$\mathcal H_b$соответственно любой оператор$K$в космосе$\mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$можно написать

$$K = \sum_{ij k\ell} K_{ijk\ell} |a_i\rangle |b_j\rangle \langle a_k|\langle b_\ell|$$

где$K_{ijk\ell} \equiv \langle a_i|\langle b_j| K |a_k\rangle |b_\ell\rangle$, и$\langle a_i|\langle b_j| \equiv \langle a_i|\otimes \langle b_j|$(я опускаю$\otimes$для ясности обозначений). Затем частичная трасса определяется как

$$\mathrm{Tr}_b(K):= \sum_{ik\ell}K_{i\ell k\ell}|a_i\rangle\langle a_k|$$

который теперь является линейным оператором на$\mathcal H_a$отдельно, с коэффициентами

$$\bigg(\mathrm{Tr}_b(K)\bigg)_{ik} = \sum_\ell K_{i\ell k\ell}$$

Многие люди предпочитают писать уравнение$(1)$потому что это создает впечатление отслеживания$|b_i\rangle$основе при выходе из$|a_i\rangle$основа одна. Однако, если вы слишком внимательно посмотрите на выражение, оно не имеет смысла.$^\dagger$- что за объект (оператор)$\otimes$(вектор)?

Если бы я знал выражение для$K$, будет ли выражение (1) эквивалентно применению$\mathrm{Tr}_b(K) = \sum_j \langle b_j|K|b_j\rangle$?

Это выражение не имеет смысла.$K$действует на$\mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$, так что же$K|b_j\rangle$означает, если$|b_j\rangle \in \mathcal H_b$?

Точно так же я хотел бы знать, откуда взялось уравнение (2).

Если у вас чистое состояние$|\psi\rangle\in \mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$, то соответствующий оператор плотности имеет вид$\rho_\psi := \frac{|\psi\rangle \langle \psi|}{\langle \psi|\psi\rangle}$. Если применить оператор проекции$P_a\otimes \mathbb I_b$к твоему состоянию$|\psi\rangle$, ваш новый оператор плотности становится

$$\rho = \frac{(P_a \otimes \mathbb I_b)|\psi\rangle\langle \psi|(P_a \otimes \mathbb I_b)}{\langle \psi|(P_a \otimes \mathbb I_b)^2|\psi\rangle}$$

что равно вашему уравнению (2). Короче говоря, операторы плотности наследуют свою проективную эволюцию от проективной эволюции состояний, из которых они построены. Затем это естественным образом распространяется на состояния, которые не обязательно являются чистыми.

---

$^\dagger$Это можно исправить. Такие объекты можно определить, если немного поразмыслить, и результат интуитивно будет именно таким, как вы ожидаете.