Линдбладиан и динамические полугруппы

Question

Линдбладиан и динамические полугруппы

Физика
оператор плотности
квантовая механика
открытые квантовые системы

Ягербер48

Я пытаюсь узнать немного больше об открытых квантовых системах.

Часто мы выводим основные уравнения или уравнения Гейзенберга-Ланжевена, где у нас есть что-то вроде

\begin{aligned} \dot{р} (т) "=" л [р (т)] \\ \dot{А} (т) "=" л^{†} [А (т)] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\rho}(t) = \mathcal{L}[\rho(t)]\\ \dot{A}(t) = \mathcal{L}^{\dagger}[A(t)] \end{align}$

Здесь $\rho$ - матрица плотности системы и $A$ является произвольным системным оператором и $\mathcal{L}$ Супероператор Линдбладиана, заданный

л [О] "=" - \frac{я}{ℏ} [ЧАС, О] + \sum_{я} γ_{я} (л_{я} О л_{я}^{†} - \frac{1}{2} {л_{я}^{†} л_{я}, О})

$\mathcal{L}[\mathcal{O}] = -\frac{i}{\hbar}[H,\mathcal{O}] + \sum_i \gamma_i\left(L_i\mathcal{O}L_i^{\dagger} - \frac{1}{2}\left\{L_i^{\dagger}L_i,\mathcal{O}\right\}\right)$

для любого оператора $\mathcal{O}$ . См., например, этот пост .

Говорят, что форма Линдблада дает наиболее общую форму для создания марковской динамики.

Ясно, что должны быть более общие основные уравнения, не являющиеся марковскими. Мне кажется, что наиболее общую форму можно было бы вывести следующим образом. Предположим, у нас есть система, которая получается из тензорного произведения двух систем, $A$ и $B$ . У нас есть

\begin{aligned} р (т) & "=" U (т) р (0) U^{†} (т) "=" е^{л т} [р (0)] \\ \dot{р} (т) & "=" [\dot{U} (т) U^{†} (т), р (т)] "=" - \frac{я}{ℏ} [ЧАС (т), р (т)] "=" л [р (т)] \end{aligned}

$\begin{align} \rho(t) &= U(t)\rho(0) U^{\dagger}(t) = e^{\mathcal{L}t}[\rho(0)]\\ \dot{\rho}(t) &= \left[\dot{U}(t)U^{\dagger}(t),\rho(t) \right] = -\frac{i}{\hbar}[H(t),\rho(t)] = \mathcal{L}[\rho(t)] \end{align}$

где $U$ представляет оператор эволюции времени. Затем мы берем частичную трассировку, чтобы получить

\begin{aligned} р_{А} (т) & "=" {Тр}_{Б} [р (т)] "=" {Тр}_{Б} [е^{л т} р (0)] \\ {\dot{р}}_{А} (т) & "=" \frac{г}{г т} {Тр}_{Б} [р (т)] "=" {Тр}_{Б} [\dot{р} (т)] "=" {Тр}_{Б} [л [р (т)]] "=" л_{А} [р_{А} (т)] \end{aligned}

$\begin{align} \rho_A(t) &= \text{Tr}_B[\rho(t)]=\text{Tr}_B\left[e^{\mathcal{L}t}\rho(0)\right]\\ \dot{\rho}_A(t) &= \frac{d}{dt}\text{Tr}_B\left[\rho(t)\right] = \text{Tr}_B\left[\dot{\rho}(t) \right] = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)] \end{align}$

Здесь $\mathcal{L}$ генерирует унитарную динамику для $\rho$ , отслеживая динамику системы $B$ приводит к $\mathcal{L}_A$ генерировать не обязательно унитарную динамику для $\rho_A$ .

Мои вопросы заключаются в следующем.

1) Действительно ли то, что я описал, является способом получения наиболее общей формы основного квантового уравнения?

2) Я предполагаю, что приведенный выше вывод не приведет к форме Линдблада, потому что он не обязательно порождает марковскую динамику? Это верно?

3) Это ограничение, что $e^{\mathcal{L}_A t}$ является элементом динамической полугруппы математический факт, который приводит к $\mathcal{L}_A$ форма Линдблада? Является ли ограничение динамической полугруппы тем же, что требует марковской динамики?

Ответы (1)

Линдбладиан и динамические полугруппы

Ягербер48 · Answer 1

Я прочитал больше и вижу важный момент, который я упустил выше. В моей последней строке для $\dot{\rho_A(t)}$ я сделал шаг

{Тр}_{Б} (л [р (т)]) "=" л_{А} [р_{А} (т)]

$\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)]) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)]$

Этот шаг не оправдан в целом. А именно проблема заключается в следующем. Я думаю, это правда, что $\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)])$ можно записать как функцию $\rho_A$ однако зависимость может включать не только $\rho_A(t)$ . В частности, это может зависеть от $\rho_A$ вовремя $t$ как и в другие более ранние времена. Физически это соответствует идее о том, что информация о системе $A$ может попасть в систему $B$ , то если система $B$ имеет память эта информация может возвращаться в систему $A$ это означает, что текущая временная эволюция системы $A$ будет зависеть, вообще говоря, от априорного состояния системы $A$ и все предыдущие времена.

В физике нам нравятся дифференциальные уравнения для объектов. Нам нравится, когда временная эволюция объекта во времени $t$ относится к функции этого объекта также во время $t$ . Мы видим, что приведенный выше абзац противоречит этому желанию. Вот почему мы накладываем марковщину системы $B$ что гарантирует, что основное уравнение может быть записано в приведенной выше форме.

Я все еще жду ответа от кого-то более опытного, чем я, но вот мои ответы на мои собственные вопросы.

1) То, что я описал, было не совсем в самом общем виде, потому что я сделал вышеприведенное необоснованное предположение. я все еще думаю, что

\begin{aligned} {\dot{р}}_{А} (т) "=" {Тр}_{Б} [л [р (т)]] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\rho}_A(t) = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] \end{align}$

Это самая общая форма, которую мы можем записать, где $\mathcal{L}$ генерирует унитарную динамику для $\rho(t)$ . К сожалению, я действительно не знаю, как записать правую часть этого уравнения как функцию от $\rho_A$ как я хотел бы. Даже при заданной явной форме $\rho(t)$ и $\mathcal{L}$ Я бы не знал, как это сделать, я думаю..

2) Верно, что эта общая форма не обязательно приводит к форме Линдблада.

3) Я почти уверен, что оператор эволюции времени, являющийся частью полугруппы, совпадает с требованием Маркова.

Подводя итог и подходя к сути вопроса: если мы даже запишем

{\dot{р}}_{А} (т) "=" л_{А} [р_{А} (т)]

$\dot{\rho}_A(t) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)]$

Мы УЖЕ предположили марковскую эволюцию. Это значит, что $\mathcal{L}$ должен иметь форму Линдблада [1]. Если мы хотим чего-то более общего, мы должны отказаться от идеи $\dot{\rho}_A(t)$ в зависимости только от $\rho_A(t)$ и не $\rho_A(t')$ в другое время $t'$ . Это не то, от чего лично я хотел бы отказаться, поэтому пока я буду придерживаться марковской эволюции и форм Линдблада!

[1] Г. Линдблад, О генераторах квантовых динамических полугрупп, Комм. Мат. Phys 48, 119, (1976).

Линдбладиан и динамические полугруппы

Ягербер48

Ответы (1)

Ягербер48

Каков физический смысл оператора Линдблада?

Полная положительность: почему условие достаточно для квантовых карт?

Где выражение Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle для частичной трассировки?

Откуда мы знаем, что если эволюционирует только ρAρA\rho_A, то эволюция ρABρAB\rho_{AB} задается выражением (LA⊗1)(ρAB)(LA⊗1)(ρAB)(\mathcal{L}_A \ otimes 1)(\rho_{AB})?

Решение основного квантового уравнения Линдблада в матричной форме

Использование динамики открытых систем для определения квантового состояния

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Запутанных состояний больше или незапутанных?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Формула Кубо для общих наблюдаемых