У меня возникли проблемы со следующей проблемой:
заряд находится на диагонали тела куба очень близко к одному из углов (расстояние из-за угла, стремящаяся к нулю), основания куба (правда, не на углу). Какой электрический поток связан с этим зарядом на основании куба.
через весь куб поток несомненно будет , но поскольку заряд не расположен симметрично относительно какой-либо из граней, связанный с ним поток должен быть разным для каждой грани.
Я попытался разобрать маленький куб, диагональ тела которого равна 2 . В этом маленьком кубе поток будет и заряд тоже расположен симметрично. Однако я не могу определить, какая часть потока меньшего куба фактически пройдет через основание большего куба.
Одна часть потока, очевидно, будет от основания меньшего куба, но как насчет вкладов потоков других частей меньшего (гипотетического) куба в основание большего (исходного) куба.
Обратите внимание , что в отношении этого вопроса существуют некоторые неправильные представления. Вопрос не в том, чтобы выяснить поток как функцию
но чтобы узнать поток как
приближается к нулю. Однако следует иметь в виду одну вещь.
не равно нулю и конечно.
Пусть сторона куба и пусть общий поток . По вращательной симметрии потоки через нижнюю, переднюю и правую стороны кубов равны, скажем, , а потоки через верхнюю, заднюю и левую стороны куба также равны, чтобы . Таким образом, мы имеем
В этом случае заряд находится точно в центре куба со стороной . Мы можем разделить каждый из этих больших кубов стороны в четверти, три из которых — верхняя, задняя и левая стороны исходного куба. По симметрии все куски имеют одинаковый поток, поэтому
Это можно сделать, перемасштабировав задачу, рассмотрев электрический поток через основание куба длиной , вызванный точечным зарядом при , пока остается постоянным и становится намного больше, чем . Таким образом, мы имеем ситуацию, похожую на следующую, за исключением того, что нам нужен поток через серую поверхность, поскольку ее длинное измерение становится бесконечным.
Лучше всего это сделать, разбив поверхность на четыре отмеченных сектора, каждый из которых можно точно рассчитать. Проще всего начать с маленького квадратного сектора:
Поток через этот сектор в точности равен телесному углу, образуемому этим квадратом при точечном заряде, и это легко вычислить по симметрии: он составляет ровно одну треть телесного угла, образуемого тремя эквивалентными гранями маленького куба размеры между точечным зарядом и вершиной большего куба. Вы можете увидеть это, заполнив кублет:
В свою очередь, телесный угол, образуемый этим меньшим кубом, составляет одну восьмую опирается на полный куб, поэтому телесный угол, опирающийся на единственную грань, точно равен
Затем возьмите один из двух длинных секторов:
Для конечных это немного сложно вычислить, потому что вам нужно учитывать тот факт, что сектор заканчивается в какой-то точке, но в ограничение того, что маленький бит будет сходиться к точке, и вы можете просто использовать это в своих вычислениях. Как только вы это сделаете, вычислить этот бит несложно: это только половина (вместо одной трети) этого фундаментального потока через единичные кубики, что можно увидеть, сопоставив этот сектор с его зеркальным отражением:
Таким образом, каждый длинный сектор образует телесный угол
Наконец, у вас есть большой квадратный сектор, который выглядит примерно так:
Должно быть ясно, что для конечных телесный угол, который он образует, представляет собой довольно запутанный объект (хотя вы, вероятно, все еще можете его вычислить). В пределах , однако, это делается очень просто, потому что оно просто сводится к телесному углу, образуемому одним из кубиков, т.е. .
Если сложить все это вместе, то получится, что в пределе нижняя грань должна образовывать телесный угол
Блокнот Mathematica, используемый для создания изображений в этом посте, доступен через Import[" http://goo.gl/NaH6rM "][" http://i.stack.imgur.com/bcsC4.png "].
В качестве альтернативы, если вам действительно нужно детально рассмотреть гайки и болты, поток через нижнюю грань при конечном и на самом деле можно точно рассчитать. Проще всего это сделать в декартовых координатах, что дает несколько квадратных корней в знаменателе, но ничего страшного. Начните, затем со следующего представления:
Результат тогда немного беспорядочный, но у вас есть явная форма. В частности, тогда у вас есть
Это хорошо, потому что справедливо для всех конечных и , но нас интересует предел этой вещи как , так что в этом духе лучше перефразировать его как
Конечно, это согласуется с интуитивным результатом, полученным выше (и, что еще лучше, каждый член в этой конечной сумме имеет прямой и равный аналог в геометрическом разложении сверху).
Примечание. Несмотря на то, что я опоздал на вечеринку, я думаю, что нет необходимости в другом ответе на этот вопрос из-за превосходного и полного ответа Эмилио Писанти (со всеми подробностями). Но именно в этот момент несколько дней назад я пытался найти формулу для потока напряженности электрического поля точечного заряда через прямоугольный параллелограмм, как на рисунке-01.
Мои усилия привели к результату, который я публикую здесь как практическое правило предложения:
Предложение-практическое правило:
Пусть прямоугольный параллелограмм со сторонами и точка расположен на высоте вертикально вверх от одного из его углов, см. Рисунок-01. Тогда телесный угол по которому точка «видит» прямоугольный параллелограмм определяется уравнением
где площадь прямоугольного параллелограмма и диагональ от в противоположный угол.
Уравнение (01) доказано в разделе «Дифференциальная геометрия» (1) для полноты, хотя его доказательство скрыто в ответе Эмилио Писанти.
Теперь обратите внимание, что если является точечным зарядом в пустом пространстве, то поток через параллелограмм равен
Если точечный заряд расположен на высоте вертикально вверх от точки внутри параллелограмма, как на рисунке-02, затем в соответствии с уравнениями (01) и (02):
На вопрос: если в уравнениях (06) положить и затем
(1) Дифференциальная геометрия
Чтобы найти поток по уравнению (02) необходимо иметь телесный угол , то есть телесный угол, под которым точечный источник "видит" прямоугольный параллелограмм , см. Рисунок-03. Этот телесный угол по своему определению
Чтобы найти площадь сферического пятна мы используем векторы касательной к x-параметрическим и y-параметрическим кривым
Ниже приведены две 3D-версии Фигуры-03.
Возможно, более простой подход:
В задаче есть некоторая симметрия . Рассмотрим 3 стороны, которые встречаются в углу, ближайшем к заряду. Есть ли причина, по которой потоки через них будут разными? То же самое для оставшихся 3-х сторон. Так что на самом деле есть только два неизвестных значения потока. Этот вопрос поможет вам найти один из них , а закон Гаусса должен дать вам другой.
Один из способов сделать это в основном сводится к расчету гаек и болтов с учетом закона Гаусса. И координировать преобразования в уме. Вы должны проверить мои преобразования на наличие опечаток, но метод остается прежним
Дайте определение электрическому полю
Но представьте заряд существующим относительно вершины декартовой системы координат. Конечно, это означает, что в приведенном выше определяется относительно заряда (не вершины декартовой системы). Перепишите приведенное выше как
Единичный вектор нормали к интересующей вас поверхности равен который можно записать для преобразования.
Поверхность интереса , где
По закону Гаусса поток (через эту поверхность) может быть записан как
Этот интеграл выглядит немного громоздким, но мы можем использовать наши ограничения для упрощения . Для одного как должно быть ясно, что и стать антипараллельными, и что . И Итак, мы имеем в этом пределе
Довольно просто вывести полученный интеграл с помощью и .
ПРИМЕЧАНИЕ. На самом деле интеграл по это тот, с которым нужно быть осторожным, у него есть полюса !, поэтому его нужно оценивать с точки зрения метода контурной интеграции ... все еще выполнимо. А результат...
если заряд в вершине полного потока через куб равен . поток через три грани каждая и через 3 грани равна нулю. можно легко вывести, если сказать, что больший куб можно сделать из 8 таких кубов, в его центре, и поток через каждый куб должен быть одинаковым по симметрии. Когда заряд находится внутри куба, поток в трех гранях, у которых был поток каждый не изменится, и общий поток из куба должен быть . Все 3 лица, которые имели поток должен иметь оставшийся поток, поровну разделенный между ними из-за симметрии (поскольку точка находится на диагонали тела). ответ есть
интуитивно понятныйфизика
Шинг
Эмилио Писанти