«Найдите результирующую силу, с которой южное полушарие равномерно заряженного шара действует на северное полушарие».

Это Гриффитс, Введение в электродинамику, 2.43, если у вас есть книга.

Задача состоит в том, чтобы найти результирующую силу, с которой южное полушарие равномерно заряженного шара действует на северное полушарие. Выразите ответ через радиус$R$и общий заряд$Q$. Примечание: я скажу, что его равномерный заряд равен$\rho$.

Моя попытка решения:

Моя идея состоит в том, чтобы найти поле, создаваемое южным полушарием в северном полушарии, и использовать поле для расчета силы, поскольку поле представляет собой силу на единицу заряда.

Чтобы сделать это, я начну с введения оболочки Гаусса с радиусом$r < R$с центром в том же месте, что и наша сфера. Тогда в этой сфере

$$\int E\cdot\mathrm{d}a = \frac{1}{\epsilon_0}Q_{enc}$$

Теперь что$Q_{enc}$? я чувствую$Q_{enc} = \frac{2}{3}\pi r^3\rho$, поскольку мы просто считаем заряд от нижней половины сферы (той части, которая находится в южном полушарии нашей исходной сферы). (Возможно тут моя ошибка, надо ли считать заряд со всей сферы?, если да то почему?)

Используя это, мы получаем

$$\left|E\right|4\pi r^2 = \frac{2\pi r^3\rho}{3},$$ так $$E = \frac{r\rho}{6\epsilon_0}.$$ Используя их, я рассчитываю силу на единицу объема как $\rho E$или же $$\frac{\rho^2 r}{6\epsilon_0}$$

Тогда по симметрии мы знаем, что любая результирующая сила, действующая на верхнюю оболочку со стороны нижней, должна быть в$\hat{z}$направление, поэтому мы получаем

$$F = \frac{\rho^2}{6\epsilon_0} \int^{2\pi}_0\int^{\frac{\pi}{2}}_0\int^R_0 r^3\sin(\theta)\cos(\theta) \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$

интегрируя, мы получаем$F = \frac{1}{4}\frac{R^4\rho^2\pi}{6\epsilon_0}$.

Теперь Гриффитс просит нас представить это в терминах общего заряда, и для этого мы пишем$\rho^2 = \frac{9Q^2}{16\pi^2R^6}$

Подключите это обратно к$F$мы получаем

$$F = (\frac{1}{8\pi\epsilon_0})(\frac{3Q^2}{16R^2})$$

Теперь проблема в том, что это не в множитель$2$...

Я попытался оглянуться назад, и единственное место, где я мог как-то получить коэффициент$2$это место, которое я упомянул в решении, где я мог бы включить весь заряд, однако я не понимаю, почему я должен включать весь заряд, поэтому, если это причина, я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь мог объяснить мне, почему я необходимо включить весь заряд.

Если это не причина, и, возможно, эта попытка решения - просто полная фигня, я был бы признателен, если бы вы могли сказать мне, как мне вместо этого решить эту проблему. (но вам не нужно полностью решать это за меня.)