Почему несовпадающие 16 измерений должны быть компактифицированы на четной решетке?

(Источник: Полчински)

Рассмотрим тороидальную компактификацию бозонной замкнутой струны. Производим идентификацию:$X \sim X +2\pi R$,$X$быть одним из 25 пространственных измерений, скажем$X^{25}$Левый и правый импульсы равны:

$k_L =\frac{n}{R} +\frac{wR}{\alpha'} = 0$,$k_R =\frac{n}{R} - \frac{wR}{\alpha'} = 0$

Массовые условия на оболочке записываются:

$m^2 = k_L^2 + \frac{4}{\alpha'}(N - 1)$,$m^2 = k_R^2 + \frac{4}{\alpha'}(\tilde N - 1)$

Отсюда получаем:

$0 = k_L^2 - k_R^2 + \frac{4}{\alpha'}(N - \tilde N)$

Использование «безразмерного» импульса$l_{L,R} = k_{L,R}(\frac{\alpha'}{2})^{\frac{1}{2}}$, мы получаем :

$0 = l_L^2 - l_R^2 + 2 (N - \tilde N)$

Если мы компактифицируем 16 измерений, у нас будут векторы$\vec l_L, \vec l_R$, с :

$0 = \vec l_L^2 - \vec l_R^2 + 2 (N - \tilde N)$

Теперь в гетеротической струне мы рассматриваем только левые движки, поэтому$\vec l_R = \vec 0$, поэтому имеем:

$0 = \vec l_L^2 + 2 (N - \tilde N)$

Если мы рассмотрим решетку$\Gamma$помирился с$\vec l_L$, мы видим, что это должна быть четная решетка.

Примечание :

Выражение безразмерного импульса можно оправдать, взглянув на расширение продукта оператора (OPE):

$X_L(z_1) X_L(z_2) \sim -\frac{\alpha'}{2} \ln z_{12}$и$X_R(z_1) X_R(z_2) \sim -\frac{\alpha'}{2} \ln \bar z_{12}$

Обратите внимание, что у нас также есть:

$:e^{ik_LX_L(z)+ik_RX_R(\bar z)}: :e^{ik_L'X_L(0)+ik_R'X_R(\bar 0)}:~ \sim z^{\alpha'k_Lk_L'/2} (\bar z)^{\alpha'k_Rk_R'/2} ~:e^{i(k_L +k_L')X_L(0)+i(k_R + k_R')X_R(0)}:$

где$z,\bar z$термин может быть написан$z^{l_Ll_L'} \bar z^{l_Rl_R'}$

На самом деле однозначность последнего ОРЕ под кружком означает, что:

$e^{2i\pi (l_Ll_L' - l_Rl_R')} = 1$, так$l_Ll_L' - l_Rl_R'$в$\mathbb Z$