Поля модулей CY

Чтобы описать физику 4-х мерного пространства-времени, начиная с 10-ти мерного пространства, мы считаем, что дополнительное 6-ти мерное пространство имеет очень маленький размер (около планковской длины). В теории струн это называется комопактификацией. Тогда симметрия теории требует, чтобы это внутреннее пространство было плоским Риччи:

$$\begin{equation} R_{IJ}=0 \end{equation}$$ где $I$и $J$бег от 0 до 6.

Поскольку многообразия CY имеют структуру комплексных многообразий, целесообразно использовать индексы комплексных многообразий, т.е.$i,j=1,2,3$. Метрика на многообразиях CY имеет тип (1,1)$G_{i,\bar j}$и получаем замкнутую (1,1)-форму из метрики

$$\begin{equation} \omega =\sqrt{-1}G_{i\bar j} dz^i\wedge d\bar z^{\bar j} . \end{equation}$$ И нигде не существует исчезающей голоморфной 3-формы $\Omega_{klm}$так как тензор Риччи равен нулю.

В дальнейшем мы будем рассматривать модули многообразий CY. Если геометрический объект можно непрерывно деформировать с сохранением его геометрических свойств, мы называем параметр этого модуля деформации. Предположим, что метрика$G_{IJ}(y)$задается на коллекторе CY$M$где$y$является местной координатой$M$. И предположим, что изменение метрики$G_{IJ}+g_{IJ}$и эта новая метрика также дает RIcci квартиру. Тогда, взяв первый порядок деформации метрики, имеем

$$\begin{equation} \Delta_6 g_{IJ}(y)=0 \end{equation}$$ где $\Delta_6$является 6-мерным лапласианом. Таким образом, деформация метрики, сохраняющая определение CY-многообразий, задается собственной функцией лапласиана с нулевым собственным значением. В общем случае собственные значения $-\Delta_6$принимать нулевые и положительные значения: $$\begin{equation} -\Delta_6 f_{IJ}^\alpha(y)=m_\alpha^2 f_{IJ}^\alpha(y), \,\,\,\alpha=1,2,\cdots. \end{equation}$$ Рассмотрим случай, когда деформация метрики $g_{IJ}$имеет тип (1,1), $\delta g_{i\bar j}$, и типа (2,0) , $\delta g_{i j}$, соответственно. В общем случае метрика на кэлеровом многообразии имеет тип (1, 1) и $g_{i\bar j}$дает деформацию, сохраняющую этот тип. Это называется деформацией келеровой структуры. Деформация келеровой структуры описывается решением уравнения $$\begin{equation} \Delta_6 \omega_{i j}(y)=0, \end{equation}$$ т.е. задается гармонической (1,1)-формой. Номер гармонической (1,1)-формы определяется числом Ходжа $h_{1,1}$коллектора $M$. С другой стороны, деформация метрики типа (2,0) подразумевает деформацию сложной структуры на комплексном многообразии. Используя комплексное сопряжение $\bar \Omega$из $\Omega$, мы получаем $$\begin{equation} \chi_{i\bar j \bar k} \equiv \delta g_{ij} G^{j\bar k} \bar \Omega_{\bar k\bar l\bar m}. \end{equation}$$ Поэтому деформация сложной структуры описывается гармонической (1,2)-формой, а степень свободы деформации становится числом Ходжа $h_{1,2}=h_{2,1}$. Как видим, CY-многообразия имеют два вида параметров деформации, кэлеровы параметры и параметры сложной структуры, называемые модулями, причем кэлеровы параметры соответствуют степени изменения размера и параметры сложной структуры соответствуют параметрам деформации формы. Метрика пространства комплексных структурных модулей есть $$\begin{equation} G_{\alpha\bar\beta}^{\rm mod}=-\frac{i\int\chi_\alpha\wedge\bar\chi_{\bar \beta}}{i\int\Omega\wedge\bar\Omega} \end{equation}$$ Напомним, что показатель $G^{\rm mod}_{\alpha\bar\beta}$пространства комплексных структурных модулей можно получить из кэлеровского потенциала $\cal K$ $$\begin{equation} G_{\alpha\bar\beta}^{\rm mod}=\partial_{\alpha}\partial_{\bar\beta}{\cal K} \ , \end{equation}$$ обнаруживается, что потенциал Кэлера может быть записан как $$\begin{equation} {\cal K}=-\log\int\left(i\int \Omega\wedge\bar\Omega \right) \ . \end{equation}$$

Давайте выберем основу$C_a$ $(a=1,\cdots, h_{1,1})$4-цикла как двойственные гармонической (1,1)-формы$\omega^a\equiv\omega^a_{i\bar j}d\!z^i\wedge d\! z^{\bar j}$ $(a=1,\cdots, h_{1,1})$. Тогда мы можем расширить

$$\begin{equation} \ast C+\sqrt{-1}\omega=\sum t_a \omega^a \end{equation}$$ где $\omega$является келеровой формой и $C$является 4-м антисимметричным тензорным полем, которое является партнером гравитационного поля. Тогда коэффициенты разложения равны $$\begin{equation} t_a =\int _{C_a} (C+\sqrt{-1}\ast\omega). \end{equation}$$ Это параметры комплексифицированных келеровых модулей.

Аналогично выберем основу$A_a$и$B_a$ $(a=0,1,\cdots, h_{1,2})$3-цикла так, что числа пересечений удовлетворяют$A_a\cap B_b=\delta_{ab}, A_a\cap A_b=B_a\cap B_b=0$. При этом известно, что в качестве параметров принимаются модули деформации сложной конструкции

$$\begin{equation} z_a=\int_{A_a} \Omega, \,\,\, a=a,\cdots, h_{1,2}. \end{equation}$$ А также известно, что интеграл от $\Omega$по циклу $B_a$можно написать $$\begin{equation} \frac{\partial F}{\partial z_a}=\int _{B_a} \Omega,\,\,\, a=a,\cdots, h_{1,2} \end{equation}$$ где $F$является голоморфной функцией $z_a$и называется препотенциалом.

При компактификации многообразия CY поля 10-мерной теории могут быть расширены по собственным функциям 6-мерного лапласиана

$$\begin{equation} f_{IJ}(x,y)=\sum_\alpha \phi^\alpha(x)f_{IJ}^\alpha(y). \end{equation}$$ Тогда волновая функция 10-мерной теории сводится к 4-мерному уравнению поля: $$\begin{eqnarray} &&\Delta_{10}f_{IJ}(x,y)=(\Delta_{4}+\Delta_{6})\sum_\alpha\phi^\alpha(x)f_{IJ}^\alpha(y)=0 \ && \rightarrow (\Delta_{4}-m_\alpha^2) \phi^\alpha(x)=0. \end{eqnarray}$$ Отсюда скалярное поле $\phi_\alpha$с массой $m_\alpha$появляется в 4-мерном пространстве, соответствующем собственному значению $m_\alpha^2$шестимерного лапласиана. В частности, масса скалярного поля, соответствующего модулям многообразия, становится равной нулю, и в четырехмерной эффективной теории появляется безмассовая скалярная частица, модульная частица. Тогда математическое ожидание вакуума, соответствующее параметру $\{t_a, z_a\}$. Поскольку ненулевое собственное значение $m_\alpha$лапласиана обратно пропорциональна квадрату размера пространства $M$и приобретают очень большую массу, ими можно пренебречь.

${\rm \bf Note\ Added}$: После компактификации теории струн типа II на многообразии Калаби-Яу$M$, 4d низкоэнергетическая эффективная теория описывается формулой${\cal N}=2$супергравитация. Содержимое поля${\cal N}=2$супергравитация состоит из мультиплета Вейля (гравитации), векторных мультиплетов и гипермультиплетов. Эффективные действия для векторных мультиплетов и гипермультиплетов описываются нелинейной сигма-моделью с целевыми пространствами, пространством модулей векторных мультиплетов и пространством модулей гипермультиплетов соответственно. В частности, кинетические члены скаляров$\phi^i$в векторных мультиплетах и ​​гипермультиплетах можно записать как

$$\begin{equation} \int_{M_4}d^4x\sqrt{g}G_{ij}\partial_\mu \phi^i \partial^\mu \phi^j +\cdots \end{equation}$$ где $G_{ij}$является метрикой пространства модулей. В компактификациях типа IIA пространство векторных мультиплетных модулей совпадает с комплексными модулями Кэлера, а пространство гипермультиплетных модулей является пространством комплексных структурных модулей. В типе IIB наоборот. В компактификациях типа IIB низкоэнергетическое эффективное действие векторные мультиплеты диктуются препотенциалом $F$из-за суперсимметрии. Благодаря зеркальной симметрии мы можем ограничиться одной из двух теорий типа II.