Какова связь между симметрией и вырождением в квантовой механике?

Этот материал, кажется, плохо освещен в большинстве вводных книг по QM, так что вот логика:

• Предположим, что имеется группа преобразований$G$. Тогда оно действует на гильбертово пространство некоторым набором унитарных преобразований$\mathcal{O}$.
• Таким образом, гильбертово пространство является представлением группы$G$, и распадается на подпространства неприводимых представлений (иррепов). Важно то, что если$|\psi\rangle$и$|\phi \rangle$находятся в одном и том же ирре тогда и только тогда, когда вы можете перейти от одного к другому, применяя операторы$\mathcal{O}$.
• Если преобразования являются симметриями гамильтониана, то операторы$\mathcal{O}$коммутирует с гамильтонианом. Тогда, если$|\psi\rangle$является энергетическим собственным состоянием, то$\mathcal{O}|\psi \rangle$является энергетическим собственным состоянием с той же энергией.
• Следовательно, все состояния в иррепе имеют одинаковую энергию. Таким образом, если присутствуют нетривиальные иррепрезентации размерности больше единицы, то будут вырожденные состояния.
• И наоборот, если вообще имеет место какое-либо вырождение, мы обычно думаем, что оно вызвано некоторой симметрией, которая может быть хорошо скрытой. В идеале не должно быть «случайного» вырождения.
• Если$G$является абелевой группой , то все иррецепции одномерны и, следовательно, не дают вырождения.

Ниже приведены некоторые примеры.

• Частица в одномерном симметричном потенциале. Группа$\mathbb{Z}_2$и он генерируется оператором четности. Группа абелева, поэтому вырождения нет.
• Свободная частица в 1D. Существуют две симметрии: трансляционная симметрия и четная симметрия. В результате группа не является абелевой и может иметь нетривиальные неравенства. Имеются невозвраты размерности два, и они соответствуют вырождению плоских волновых состояний$e^{\pm ikx}$.
• Частица в 1D с$H = p^3$. Нет никакого вырождения; аргумент в пользу свободной частицы не работает, потому что у нас нет паритетной симметрии, только трансляционная симметрия. Это показывает, что непрерывная симметрия (трансляции) не гарантирует вырождения. Это гарантирует сохранение количества (в данном случае импульса), но это другой вопрос.
• Частица в трехмерном центральном потенциале. Группа$SU(2)$, который неабелев. Вырожденные множества состояний$\{l, m\}_{-l \leq m \leq l}$просто иррепы$SU(2)$.
• Атом водорода. Имеется дополнительное вырождение между состояниями с одинаковыми$n$но разные$l$квантовые числа. Это происходит из скрытого$SO(4)$симметрия гамильтониана.

Таким образом, ваш второй пункт верен (как правило, вырождение подразумевает симметрию), но ваш первый пункт неверен. Непрерывные симметрии гарантируют сохранение величин, а не вырождение.

Ответ knzhou очень хорошо объяснен, но, возможно, стоит упомянуть, что энергетические зазоры между различными секторами симметрии обычно уменьшаются с размером системы и формально исчезают в термодинамическом пределе. Таким образом, система бесконечного размера действительно может (но не обязана) иметь индуцированное симметрией вырождение, даже если симметрия абелева (независимо от того, является ли симметрия дискретной или непрерывной — например, квантовая поперечная модель Изинга, которая имеет$\mathbb{Z}_2$симметрии, имеет двойное вырождение в основном состоянии в термодинамическом пределе, а$X$-$Y$модель, которая имеет$U(1)$симметрии, имеет бесконечное вырождение GS). Если в термодинамическом пределе имеется индуцированное симметрией вырожденное GS-многообразие, то симметрия обычно нарушается: физически реалистичные основные состояния не инвариантны относительно симметрии.

Кроме того, даже при отсутствии симметрии бесконечно большая система в топологически упорядоченной фазе может иметь конечное вырождение. Это вырождение чрезвычайно устойчиво, потому что, в отличие от случая, вызванного симметрией, никакое возможное возмущение не может его снять.