Как можно увидеть, что атом водорода имеет симметрию SO(4)SO(4)SO(4)?

Гамильтониан для атома водорода

$$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - \frac{k}{r}$$ описывает электрон в центральном $1/r$потенциал. Она имеет ту же форму, что и проблема Кеплера, и симметрии аналогичны. Существует очевидное $SO(3)$создаваемый угловым моментом $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$. Другими словами, компоненты $\mathbf{L}$удовлетворить $$[L_i,L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk}L_k .$$ Более тонкая симметрия задается вектором Лапласа-Рунге-Ленца. $$\mathbf{A} = \frac{1}{2m} ( \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mathbf{L} \times \mathbf{p}) - k \frac{\mathbf{r}}{r}.$$ Коммутационные соотношения с участием $\mathbf{L}$а также $\mathbf{A}$находятся $$[L_i,A_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} A_k \\ [A_i,A_j] = -i\hbar\epsilon_{ijk} \frac{2H}{m} L_k .$$ Вплоть до нормализации $\mathbf{L}$это коммутационные соотношения $SO(4)$. (Здесь я предполагаю, что мы рассматриваем связанное состояние, энергия которого $E$отрицательно. Если $E>0$приведенное выше отношение порождает некомпактное $SO(3,1)$симметрия.)

Кроме того, оба$\mathbf{L}$а также$\mathbf{A}$коммутировать с гамильтонианом,

$$[H,L_i] = 0, \qquad [H,A_i] = 0$$ показывая, что они действительно генерируют симметрии атома водорода.

Я хотел дополнить ответы выше. Для (1)$so(4) = so(3) \times so(3)$, один$so(3)$исходит из геометрической трехмерной симметрии гамильтониана, а другой$so(3)$от потенциального срока$\frac{k}{r}$.

Для (2). секунда$so(3)$симметрия является динамической симметрией и выполняется только тогда, когда потенциальный член обратно пропорционален$r$. Чтобы найти его, нужно произвести расчет.