Как доказать эквивалентность двух разных определений SSS-оператора?

Я читал, что есть два определения о С -оператор :

Первый (например, (8.49) в квантовании поля Грейнера):

С ф я ≡ ⟨ Ψ п − | Ψ к + ⟩
где | Ψ п − ⟩ это состояние в картине Гейзенберга, которое | п ⟩ в т "=" + ∞ когда вы вычисляете | Ψ п − ⟩ на картине Шредингера, вызванное состояние. | Ψ к + ⟩ это состояние в картине Гейзенберга, которое | к ⟩ в т "=" − ∞ , позвонил в гос.

Так

С ф я ≡ ⟨ Ψ п − | Ψ к + ⟩ "=" ⟨ п | ( Ом − ) † Ом + | к ⟩

В этом случае S-оператор С ^ "=" ( Ом − ) † Ом + , где оператор Мёллера

Ом + "=" лим т → − ∞ U † ( т ) U 0 ( т )
Ом − "=" лим т → + ∞ U † ( т ) U 0 ( т )
Так
С "=" U я ( ∞ , − ∞ )

Другое определение (например, (9.14) (9.17) (9.99) в квантовании поля Грейнера):

С ф я ≡ ⟨ Ψ п − | Ψ к + ⟩ ≡ ⟨ Ψ п − | С ^ ′ | Ψ к − ⟩ "=" ⟨ Ψ п + | С ^ ′ | Ψ к + ⟩
где S-оператор С ^ ′ | Ψ п − ⟩ "=" | Ψ п + ⟩ то есть С ^ ′ "=" Ом + ( Ом − ) † .

Кажется, что эти два определения различны, но многие учебники могут вывести одну и ту же формулу Дайсона для этих двух S-операторов. https://en.wikipedia.org/wiki/S-матрица#The_S-матрица

Как доказать：

Ом + ( Ом − ) † "=" е я α ( Ом − ) † Ом +

связанный с этим вопросом: в квантовой теории поля есть два определения S-оператора (или S-матрицы). Они эквивалентны?

Ответы (2)

Я предложу вывод, хотя я могу затушевать возможные тонкости с различными гильбертовыми пространствами. Короче говоря, два определения дают РАЗНЫЕ операторы, которые эквивалентны только унитарно:

Мы определили элементы s-матрицы как

С п к "=" ⟨ Ψ п − | Ψ к + ⟩

Вы сами показали, как вывести первое тождество об операторе S, и оно также дано Вайнбергом (3.2.4):

С п к "=" ⟨ Φ п | С | Φ к ⟩
С | Φ к > состояния свободной теории, связанные с Ψ к .

То, что вы просите сейчас, это тот же оператор С дает одни и те же элементы Matrix между состояниями -in или -out. Это не вариант.

Вместо этого определите оператор С ~ который отображает состояния -out в состояния -in той же метки:

С ~ | Ψ к − ⟩ "=" | Ψ к + ⟩

Затем

⟨ Ψ п − | С ~ | Ψ к − ⟩ "=" ⟨ Ψ п − | Ψ к + ⟩ "=" С п к

Итак, этот оператор С ~ не тот же оператор , но имеет те же матричные элементы при другом выборе базиса. Меня это тоже глючило, пока я не узнал, потому что другие авторы (например Пескин/Шредер) или Шварц) используют это определение.

То, что операторы различны, можно увидеть, записав их в виде линейных комбинаций | Ψ Икс ⟩ и | Φ Икс ⟩ .

Я думаю, что это тип результата правила Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа (BCH). Я определю операторы

Ом ±   "="   е я β ± ,
так что
( Ом − ) † Ом +   "="   е − я β − е я β +
"="   ( 1   −   я β −   −   1 2 β − 2 ) ( 1   +   я β +   −   1 2 β + 2 )   +   О ( β 3 ) .
Аналогичное выражение происходит от Ом + ( Ом − ) † . Тогда мы можем легко увидеть, что
( Ом − ) † Ом +   "="   Ом + ( Ом − ) †   +   [ β − ,   β + ] .
By BCH позволяет нам записать это как
( Ом − ) † Ом +   "="   е [ β − ,   β + ] Ом + ( Ом − ) † .
Отсюда и вопрос определения α   "="   − я [ β − ,   β + ] .

Откуда вы знаете [ β − , β + ] это число?
Я сомневаюсь, что это так, более того, я не думаю, что BCH применим здесь, потому что я не думаю, β должен быть маленьким в любом смысле.
Как доказать эквивалентность двух разных определений SSS-оператора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v