Противоречие между теоремой Геллмана-Лу и тождеством оператора Меллера HΩ+=Ω+H0HΩ+=Ω+H0H\Omega_{+}=\Omega_{+}H_0

Этот вопрос возникает при чтении доказательства теоремы Геллмана Лоу .

ЧАС "=" ЧАС 0 + ЧАС я , позволять | ψ 0 ⟩ быть собственным состоянием ЧАС 0 с собственным значением Е 0 , и рассмотрим вектор состояния, определенный как

| ψ ϵ ( − ) ⟩ "=" U ϵ , я ( 0 , − ∞ ) | ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 | U ϵ , я ( 0 , − ∞ ) | ψ 0 ⟩
где определение U ϵ , я ( 0 , − ∞ ) можно найти в вышеуказанной статье

Теорема Гелл-Манна и Лоу: если | ψ ( − ) ⟩ "=" лим ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ существуют, то | ψ ( − ) ⟩ должно быть собственным состоянием ЧАС с собственным значением Е . И собственное значение Е определяется следующим уравнением:

Δ Е "=" Е − Е 0 "=" − лим ϵ → 0 + я ϵ г ∂ ∂ г п ⁡ ⟨ ψ 0 | U ϵ , я ( 0 , − ∞ ) | ψ 0 ⟩

Однако мы узнаем из теории рассеяния,

U я ( 0 , − ∞ ) "=" лим ϵ → 0 + U ϵ , я ( 0 , − ∞ ) "=" лим т → − ∞ U ф ты л л ( 0 , т ) U 0 ( т , 0 ) "=" Ом +
где Ом + является оператором Мёллера. Мы можем доказать тождество для оператора Мёллера ЧАС Ом + "=" Ом + ЧАС 0 в теории рассеяния. В нем говорится, что энергия состояния рассеяния не изменится, когда вы включите взаимодействие адиабатически.

Мой вопрос:

1. Единственный способ избежать этих противоречий — доказать, что Δ Е для состояния рассеяния ЧАС 0 должен быть равен нулю. Как доказать? В общем случае должно быть так, что для рассеянного состояния не будет сдвига энергии, для дискретного состояния будет какой-то сдвиг энергии. Но теорема Гелл-Манна-Лоу не говорит мне результат.

2. Кажется, что теорема Гелла-Манна-Лоу более мощная, чем адиабатическая теорема, которая требует, чтобы вокруг эволюционирующего собственного состояния существовал зазор. И теорема Гелл-Манна-Лоу может быть применена к любому собственному состоянию ЧАС 0 независимо от того, является ли состояние дискретным, непрерывным или вырожденным, и независимо от того, происходит ли пересечение уровней во время эволюции. Однако существование лим ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ раздражает, что сильно ограничивает применение этой теоремы. Есть ли какой-то критерий существования лим ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ ? Или дайте мне явный пример, в котором этого не существует.

3. Представляется, что теорема Гелл-Манна Лоу является обобщенной адиабатической теоремой, которую можно использовать в дискретном или непрерывном спектре. Как доказать теорему Гелл-Манна Лоу может вернуться к адиабатической теореме при условии адиабатической теоремы. Необходимо доказать, что лим ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ существуют с учетом требования адиабатической теоремы.

Связанный вопрос от OP: physics.stackexchange.com/q/110018/2451
@ 346699 Читая ваш вопрос, у меня сложилось впечатление, что две теоремы вместе обеспечивают доказательство того, что г ∂ / ∂ г п ⁡ ⟨ … ⟩ не может расходиться как 1 / ϵ , так что действительно Е "=" Е 0 . Теперь вы, кажется, отвергаете это: в чем причина этого отвергать? Есть ли у вас лучший или независимый источник интуиции или какие-либо основания полагать, что г ∂ / ∂ г п ⁡ ⟨ … ⟩ должно быть вместо рассеяния состояний? Если нет, то я согласился бы со следствием, вытекающим из двух теорем для состояний рассеяния.
Вы наткнулись на очень хитрый и технический момент. Пройдите главу 9 в: books.google.fr/… и вы найдете ответ. В общем случае (как было сказано выше) формула ОМЖ сдвигает энергии только дискретных состояний, и таким образом восстанавливается согласованность.

Ответы (2)

Теорема Гелл-Манна Лоу применима только к собственным векторам, т. е. к дискретной части спектра. Следовательно, это не относится к состояниям рассеяния. Последние не являются собственными векторами, поскольку они не нормализуемы. Ваша формула для Δ Е для них бессмысленно, поскольку скалярный продукт в правой части обычно не определен, если только ψ 0 нормализуется.

[Уравнение для оператора Меллера] «говорит, что энергия состояния рассеяния не изменится, когда вы включаете взаимодействие адиабатически». Нет. Оно только говорит, что ЧАС и ЧАС + должен иметь одинаковый суммарный спектр; в нем ничего не говорится об энергиях отдельных состояний рассеяния.

Более того, более строгое рассмотрение (например, в трактате Тирринга по математической физике) показывает, что ваше уравнение выполняется в лучшем случае на подпространстве, ортогональном дискретному спектру (которое почти всегда демонстрирует энергетические сдвиги), и что некоторые допущения (относительные компактные возмущения) должны убедиться, что оно выполнено на этой проекции. Эти предположения не выполняются, когда непрерывный спектр ЧАС и ЧАС 0 не тождественно, например, когда ЧАС 0 для свободной частицы и ЧАС для гармонического осциллятора или осциллятора Морзе, или наоборот.

Второе и третье утверждения, по-видимому, не обязательно верны без каких-либо дополнительных предположений: если взять тривиальный пример ЧАС 0 "=" ЧАС я , то собственные состояния не меняются, собственных состояний не бывает ни больше, ни меньше, и даже непрерывный энергетический спектр изменяется: все энергии умножаются на 1 + е − ϵ | т | .

Это говорит ЧАС я можно рассматривать как возмущение по сравнению с ЧАС 0 .
Что именно это должно означать? Если это просто означает «маленький», можно было бы также взять ЧАС я "=" ϵ 2 ЧАС 0 с ϵ 2 очень маленькое число. Тогда применяется тот же аргумент, за исключением того, что энергии масштабируются 1 + ϵ 2 е − ϵ | т | . Возможно, бумага означает определенную форму взаимодействия — например, комбинацию как минимум 3-х операторов уничтожения или создания? Возможно, утверждения справедливы только для теории возмущений первого порядка?
В QM срок взаимодействия не будет пропорционален ЧАС 0
Вышеизложенное высказывание может быть сформулировано не строго, но я думаю, что оно верно. Потому что 1 — это то, что говорит теорема Гелл-Манна-Лоу, а 2 — это то, что говорит теорема Липпмана-Швингера. Однако проблема в том, что когда мы доказывали теорему Липпмана-Швингера, мы предполагали, что энергия непрерывного спектра не смещается. И когда мы доказывали теорему Гелл-Манна-Лоу, мы предполагали, что будет сдвиг энергии для дискретного спектра.
Я исправил свой вопрос, у вас есть идеи? Спасибо.
Противоречие между теоремой Геллмана-Лу и тождеством оператора Меллера HΩ+=Ω+H0HΩ+=Ω+H0H\Omega_{+}=\Omega_{+}H_0
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v