Какой предел для суммирования частот Мацубара?

Да, для этой конкретной суммы Мацубары, которую вы упомянули, использование разных пределов приведет к двум результатам, отличающимся на 1. Это связано с тем, что рассматриваемая сумма не сходится, что видно из следующего интеграла (непрерывный предел суммы) с учетом ультрафиолетовое расхождение (большое$\omega$поведение)

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega\frac{1}{i\omega-\epsilon}\sim\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\omega\frac{1}{\omega}\rightarrow\infty.$$ Запрашивание результата существенно расходящейся суммы не приведет даже к определенному ответу. Знакомство с фактором $e^{i\omega_n\tau}$состоит в том, чтобы контролировать сходимость суммы, но тогда результат будет зависеть от того, как кто-то решит управлять сходимостью, т.е. $\tau\rightarrow0^+$(управление левой половиной комплексной плоскости) или $0^-$(управление правой полусложной плоскостью).

Два результата будут отличаться сдвигом на 1. Даже эта разница «1» имеет физический смысл, отражая двусмысленность в определении числа фермионных частиц. Потому что суммирование

$$\frac{1}{\beta}\sum_n\frac{1}{i\omega_n-\epsilon}=G(\tau=0)=-\mathcal{T}_{\tau}\langle\psi(\tau=0)\bar{\psi}\rangle$$ соответствует функции Грина в мнимый момент времени 0, что физически означает подсчет количества фермионов на уровне энергии $\epsilon$. Здесь $\mathcal{T}_{\tau}$обозначает оператор упорядочения времени. Однако $\tau=0$можно понимать как $\tau\rightarrow0^+$или же $\tau\rightarrow0^-$(соответствует двум способам управления сходимостью), что становится здесь очень важным, потому что оператор временного упорядочения затем упорядочивает два случая по-разному: $$-\mathcal{T}_{\tau}\langle\psi(\tau=0^+)\bar{\psi}\rangle = -\langle\psi\bar{\psi}\rangle,$$ $$-\mathcal{T}_{\tau}\langle\psi(\tau=0^-)\bar{\psi}\rangle = \langle\bar{\psi}\psi\rangle.$$ Согласно антикоммутационному соотношению фермионных операторов имеем $\bar{\psi}\psi=1-\psi\bar{\psi}$, поэтому ожидается, что два результата будут отличаться на константу 1. На самом деле $\bar{\psi}\psi$подсчитывает количество частиц, а $\psi\bar{\psi}$подсчитывает количество отверстий. Возникает проблема, определить ли число Фермиона (по отношению к вакуумному состоянию) как число частиц или как отрицательное число дырок. Это зависит от нашего определения состояния вакуума: рассматриваем ли мы вакуум как состояние без частиц или как состояние, заполненное частицами (как концепция моря Ферми). Мы знаем, что оба варианта приемлемы, так же как мы можем определить электрон либо как частицу в пустом пространстве, либо как дырку в антиэлектронном море Ферми. Из-за этой неоднозначности необходимо указать выбор, когда $\tau\rightarrow0$берется лимит. В заключение можно сказать, что оба способа определения предела допустимы, а разница в результатах заключается лишь в определении состояния фермионного вакуума.

Подобное несоответствие существует и в бозонном случае, что опять-таки связано с определением бозонного вакуумного состояния. В общем случае такое несоответствие коренится в расходимости рассматриваемой суммы Мацубары. Если само суммирование сходится к определенному результату, то результат будет уникальным независимо от того, какой предел выбран. Например, если попытаться вычислить

$$\frac{1}{\beta}\sum_n\frac{1}{(i\omega_n-\epsilon)^2},$$ результат всегда будет $\beta/4 \mathrm{sech}^2 (\beta\epsilon/2)$(для фермионного случая) неважно $\tau\rightarrow0^+$или же $0^-$.

Здесь я перечислю рецепт вычисления суммирования Мацубары, а именно, как суммировать следующий ряд

$$\dfrac{1}{\beta}\sum_{n}g(i\omega_n),$$ куда $\omega_n$- это частоты Мацубары , а n будет целым числом.

1. Аналитическое продолжение: $$g(i\omega_n) \rightarrow g(z)$$
2. Найдите полюса$z_m$из$g(z)$и вычислить $$\sum_{m}f(z_m)Res(g,z_m)$$

куда$f(z)$может быть функцией распределения Ферми или Бозе в зависимости от интересующего вопроса, и обратите внимание, что$z_m$не останется на мнимой оси.

Например:

$$\dfrac{1}{\beta}\sum_n\dfrac{1}{i\omega_n + E}=f(-E)Res(g(z),-E)=\dfrac{1}{e^{-\beta E}-1}$$ куда $$\omega_n=\dfrac{2n\pi}{\beta}$$ бозонные частоты.