Какой смысл имеет теория возмущений в квантовой теории поля?

Набросок философии:

• Шаг первый: Внедрите регулятор. Все конечно.

• Шаг второй: Настройте пертурбативное расширение. Это чисто алгебраический шаг, где нет понятия "это мало, это большое". Этот ряд является формальным степенным рядом в строгом математическом смысле .

• Шаг третий: перенормируйте наблюдаемые. Настройте коэффициенты лагранжиана в зависимости от регулирующего параметра так, чтобы каждая наблюдаемая была конечной в физическом пределе. Остаточные (конечные) перенормировки в принципе произвольны и могут быть определены с помощью некоторого (физического или нефизического) предписания. После перенормировки каждый член ряда конечен, и при желании регулятор можно убрать. Конечным результатом является совершенно правильный формальный степенной ряд, в котором все члены конечны и четко определены.

• Шаг четвертый: сериал хорош? В широком классе теорий мы наблюдаем, что первые несколько порядков в теории возмущений действительно уменьшаются по величине по мере увеличения порядка. Мы считаем этот ряд асимптотическим и заканчиваем. Если различные члены не уменьшаются, мы объявляем теорию не слабо взаимодействующей и прибегаем к непертурбативным методам.

Каждый шаг четко определен и последователен. Если вам нужен формальный степенной ряд ab initio, который пропускает этапы регуляризации + перенормировки, вам придется работать с какой-либо формулировкой, в которой нет расхождений, например, с каузальной формулировкой КТП . При этом разные члены формального степенного ряда однозначно вычисляются по вершинам лагранжиана, но так, что все интегралы сходятся с самого начала.

Независимо от того, создаете ли вы свою теорию в явно конечной структуре или используете такую, где требуются шаги регуляризации + перенормировки, вывод теории возмущений всегда представляет собой формальный степенной ряд, где понятие сходимости не требуется. Параметр возмущения не имеет численного значения, поэтому нет смысла утверждать, что$(n+1)$член меньше, чем$n$й один. Это чисто алгебраическая процедура. $(n+1)$термин идет после$n$го члена потому, что он имеет на одну степень больше параметра возмущения, а не потому, что он меньше по величине.

Формальный степенной ряд можно преобразовать в асимптотический ряд, присвоив параметру возмущения числовое значение, но нет никакой гарантии, что этот ряд окажется каким-либо образом полезным. Вы не знаете априори, будет ли ряд хорошо себя вести в числовом выражении. На самом деле вы обычно ожидаете, что он начнет расти в каком-то порядке по теории возмущений, поэтому в лучшем случае этот порядок точки поворота велик, так что ваши прогнозы имеют смысл.

Таким образом, резюмируя: ряд возмущений имеет смысл, потому что это алгебраический процесс — ряд является формальным степенным рядом без понятия сходимости. Иногда сериал полезен, иногда нет. Но структура последовательна в любом случае.

Расхождение происходит из-за плохой отправной точки для создания теории; см. мою статью '' Перенормировка без бесконечностей - учебник ''.

Никаких проблем с разложением на постоянную тонкой структуры не возникает, если все делать с должной математической тщательностью, как в теории причинных возмущений. См. мой обзор теории причинных возмущений .

Возможно, более простой способ понять теорию возмущений (в контексте обычной КТП, а не причинных формулировок) состоит в том, чтобы понять, что процедура перенормировки, уже описанная AccidentalFourierTransform, в конечном итоге создает связь (коэффициент члена взаимодействия в вашем лагранжиане( s)) функция некоторого энергетического масштаба, превращающая его в бегущую муфту. Эта шкала энергии в то же время контролирует, где применима ваша теория, по крайней мере, при пертурбативной трактовке. Таким образом, в конце концов, это означает, что моды, выходящие далеко за пределы такой энергетической шкалы, должны контролироваться (регулироваться) или включаться в теорию посредством какого-либо предписания. Это очень грубое качественное описание вильсоновского подхода к перенормировке, полное описание которого стоит того, чтобы написать целую главу, которую вы можете найти в классической книге Пескина и Шредера «Введение в квантовую теорию поля».

Мораль этой истории, как уже упоминалось, такова: во-первых, эти расхождения являются артефактом некоторых допущенных математических «нарушений» (в частности, умножения распределений, также известных как обобщенные функции), во-вторых, эти нарушения могут быть исправлены с помощью перенормировки процедуры (иногда нужно делать это даже по порядку), в-третьих, можно попытаться дать физическое обоснование такой процедуре, как с точки зрения Вильсона.