Поляризация вакуума в КЭД — почему она важна для перенормировки?

Общая связная диаграмма Фейнмана всегда может быть разложена на цепочку одночастичных неприводимых (1PI) диаграмм, соединенных вместе пропагаторами. Рассуждение очень простое: говорят, что диаграмма Фейнмана является 1PI, если ее нельзя разделить на две осмысленные диаграммы Фейнмана, разрезав одну внутреннюю линию на две. Диаграмма Фейнмана либо 1PI, либо нет. Если это не так, вы можете разрезать его пополам, разделив один внутренний пропагатор. Вы можете повторить вопрос к двум полученным таким образом диаграммам. Дело в том, что вы будете продолжать разбивать диаграммы, пока не достигнете диаграмм 1PI. В конце концов, ваша исходная диаграмма, которая не была 1PI, представлялась цепочкой диаграмм 1PI, соединенных вместе распространителями.

Теперь это означает, что если ваши диаграммы 1PI не расходятся, никакая диаграмма не будет расходиться, поскольку все диаграммы построены из диаграмм 1PI, включая только пропагаторы. Это означает, что если вы хотите удалить расхождения диаграмм Фейнмана, вы должны сосредоточиться на диаграммах 1PI.

Теперь оказывается, что «поляризация вакуума» в КЭД — это всего лишь вклад 1PI в фотонный пропагатор. В этом случае, когда вы изучаете поляризацию вакуума, вы на самом деле убеждаетесь, что одна из диаграмм 1PI четко определена.

Вкратце, реномализация КЭД устроена следующим образом:

• Любая диаграмма может быть построена из 1-частичных неприводимых (1PI) диаграмм. В КЭД в 4D можно показать, что существует только 7 внешне расходящихся 1PI-диаграмм без расходящихся поддиаграмм, ср. например, ссылка 1.

• Исключая 1 вакуумную диаграмму, 2 исчезающие по теореме Фурри и 1 конечную, остается фактически только 3 расходящиеся 1PI-диаграммы: собственная энергия/вакуумная поляризация фотонного и электронного полей и их 3-вершинная диаграмма. ОП спрашивает об 1 из этих 3.

• 4$Z$-факторы должны быть перенормированы: перенормировки волновых функций фотонного и электронного полей,$Z$-коэффициент их константы связи$e$, и$Z$-фактор массы электрона, ср. например, ссылка 2.

Использованная литература:

1. М. Е. Пескин и Д. В. Шредер, Введение в QFT; Раздел 10.1.

2. М. Средненицкий, QFT, 2007; Глава 62. Предварительный PDF-файл доступен здесь .

Очень-очень кратко: поляризация вакуума относится к процессу, посредством которого точечная частица, такая как электрон, может взаимодействовать с парами электрон/позитрон, которые ненадолго выпрыгивают из вакуума поблизости. Когда это происходит, пары ориентируются по отношению к «настоящему» электрону, так что позитроны (+ заряд) обращены к этому электрону, а электроны направлены в сторону от него — на мгновение.

Со временем это приводит к тому, что пустой вакуум ведет себя немного как диэлектрик, содержащий зарядовые диполи, которые могут реагировать на электрические поля, и если наблюдать издалека, заряд электрона, по-видимому, частично экранируется этим эффектом «вакуумного диэлектрика».

Затем процесс перенормировки включает явный учет этого эффекта экранирования при расчете квантово-механического поведения того, что мы считали «голым» электроном, но который на самом деле «одет» в то, что можно представить как облако позитронов. / электронные пары, которые его окружают.

Это и есть связь между поляризацией вакуума и перенормировкой - как я ее грубо понимаю, т.е. без использования диаграмм Фейнмана.

Перенормировка — это имя, которое мы даем следующей идее.

Чтобы вычислить, что делают квантовые поля, мы должны выполнить интегралы. Нам нужен математический метод, чтобы сделать эти интегралы управляемыми. Один из методов состоит в том, чтобы начать с состояний невзаимодействующих полей, построить диаграммы Фейнмана и интегрировать. Однако некоторые из этих интегралов расходятся. При исследовании оказывается, что один из способов понять, почему мы получили расходящийся интеграл, состоит в том, чтобы понять, что мы пытались построить нашу теорию из гипотетических физических состояний (свободная частица или затравочные состояния), бесконечно далеких от реального физического состояния. состояния (состояния взаимодействующих полей). Это немного похоже на вычисление интеграла

$$\int_a^b \frac{1}{x} dx = \ln(a/b)$$ пытаясь принять выражение $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^0 f(x) dx + \int_0^b f(x) dx$$ который сначала кажется нормальным, но ломается, когда$f(x) = 1/x$. В этом интеграле пытаются записать совершенно четко определенный конечный интеграл как разность между двумя расходящимися интегралами, что не является четко определенной идеей. Поэтому, чтобы избежать этого, мы можем вместо этого принять $$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left[\int_a^\epsilon f(x) dx + \int_\epsilon^b f(x) dx \right]$$ и теперь все четко определено.

Затравочные состояния электронов и фотонов — те, что наблюдаются в теории свободного поля любого из них без члена взаимодействия, — выполняют роль$\epsilon$выше. Они бесконечно далеки от действительных физических состояний в том смысле, что их энергия бесконечно отличается от энергии, действительно присутствующей в физических полях. Но если мы достаточно внимательны, то можем настроить вычисление так, чтобы получить разность между двумя интегралами (которые, взятые по одному, будут расходиться) и, таким образом, получить разность между энергиями двух физических состояний или, в более общем случае, некоторое другая величина, такая как квантовая амплитуда, для перехода от одного физического состояния к другому.

Наконец, какое отношение все это имеет к поляризации вакуума? В других ответах уже упоминалось, как мы просто получаем небольшое количество диаграмм Фейнмана, которые нам нужно перенормировать, и об одной из них спрашивали. Название «поляризация вакуума» — это название состояния физических полей в этом сценарии. Физический фотон — это не то же самое, что голый фотон, а физический электрон — это не то же самое, что голый электрон. Мы можем представить себе физический электрон, как если бы он был голым электроном, окруженным облаком голых виртуальных электрон-позитронных пар, которые расположены как диполи, дающие результирующую поляризацию. Но эта картина просто дает нам возможность думать о физических электронах с точки зрения голых электронов и позитронов, а голые электроны и позитроны — плод нашего воображения: они — вычислительные инструменты, состояния поля (невзаимодействующего поля), которое не существует. Потому что реальные поля взаимодействуют.

Давно признано, что всю эту математику можно было бы делать вообще без использования перенормировки (например, работая с физическими состояниями повсюду, а не вызывая голые состояния), но этот метод был тщательно разработан в богатом массиве. обстоятельств, и он остается лучшим из тех, что у нас есть для многих целей.