Является ли получение координатного представления оператора импульса из коммутатора более фундаментальным, чем генератор переноса?

Связанный пост: Какое наиболее общее выражение для координатного представления оператора импульса?

Есть два метода получения координатного представления импульса в квантовой механике.

$$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y). \tag{1}$$

Первый из канонического коммутатора

$$[x,p]=i \tag{2}$$ Как показано в принципах квантовой механики Дирака, 4-е издание, раздел 22, на самом деле в этой процедуре есть неоднозначность. $$\langle x|p|y \rangle = -i \delta'(x-y) + F' \delta (x-y) \tag{3}$$ где $F':=dF/dx$является производной общей функции $F(x)$(Я немного модифицирую уравнение в книге Дирака).

уравнение (3) удовлетворяет коммутатору (1), но подразумевает произвольное значение математического ожидания импульса. Как заметил Дирак, эту неоднозначность можно снять с помощью локального фазового множителя$\psi \rightarrow e^{-iF(x)} \psi$.

Второй касается того, что оператор импульса является генератором перевода, как указано в 1-м издании современной квантовой механики Сакурая, стр. 54,

$$( 1- \frac{ i p \Delta x'}{\hbar} ) | \alpha \rangle = \int dx' \mathcal{F} (\Delta x') | x ' \rangle \langle x | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' + \Delta x' \rangle \langle x' | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' \rangle \langle x' - \Delta x' | \alpha \rangle$$ $$= \int dx' | x' \rangle \left( \langle x'| \alpha \rangle - \Delta x' \frac{ \partial}{\partial x'} \langle x' | \alpha \rangle \right). \tag{1.7.15}$$

Сравнение обеих сторон дает

$$p | \alpha \rangle = \int dx' | x' \rangle \left( - i \frac{ \partial}{\partial x'} \langle x'| \alpha \rangle \right) \tag{1.7.16}$$ $$\langle x' | p | \alpha \rangle = - i \frac{ \partial }{ \partial x'} \langle x'| \alpha \rangle \tag{1.7.17}$$

Кажется, что произвол как уравнение. (3) скрыто во втором подходе.

Мои вопросы:

(i) Обнаружил ли уже Дирак происхождение калибровочной инвариантности? Если не рассматривать от коммутатора, то можно сказать, что калибровочной инвариантности нет. Локальный фазовый фактор изменил бы ожидаемое значение импульса, поэтому мы можем иметь только глобальный фазовый фактор, соответствующий одному и тому же состоянию. Однако, поскольку локальный фазовый коэффициент поступает от коммутатора, он должен быть избыточным.

(ii) Является ли первый метод из коммутатора более фундаментальным, чем генератор трансляции? Так как мы можем найти калибровочную инвариантность из первого метода.