Теорема Нётер, калибровочная симметрия и сохранение заряда

Question

Теорема Нётер, калибровочная симметрия и сохранение заряда

Физика
калибровочная инвариантность
Нётер-теорема
законы сохранения
квантовая механика
квантовая теория поля

ФраШелле

Я пытаюсь понять теорему Нётер и ее применение для измерения симметрии. Ниже того, что я сделал до сих пор.

Во-первых, глобальная калибровочная симметрия. Я начинаю с Лагража

л_{1} знак равно \partial^{мю} Ψ \partial_{мю} Ψ^{*} - м^{2} {| Ψ |}^{2}

$L_{1}=\partial^{\mu}\Psi\partial_{\mu}\Psi^{\ast}-m^{2}\left|\Psi\right|^{2}$ с классическими комплексными полями. Этот лагражиан инвариантен относительно глобальной калибровочной симметрии

Ψ \to \tilde{Ψ} = e^{i θ} Ψ

$\Psi\rightarrow\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}\theta}\Psi$ , ... такой, что я в конечном итоге с

дельта С знак равно \int г в [\frac{дельта л_{1}}{дельта Ψ} дельта Ψ + \frac{дельта л_{1}}{дельта Ψ^{*}} дельта Ψ^{*} + я (Ψ \partial^{мю} Ψ^{*} - Ψ^{*} \partial^{мю} Ψ) \partial_{мю} дельта θ] знак равно \int г в [\partial_{мю} {Дж}^{мю}] дельта θ

$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\mathbf{i}\left(\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}-\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi\right)\partial_{\mu}\delta\theta\right]=\int dv\left[\partial_{\mu}j^{\mu}\right]\delta\theta$ если уравнения движения (

δ L / δ Ψ = 0

$\delta L / \delta \Psi = 0$ , ...) действительны. Все это время я использую это

\frac{дельта л}{дельта ф} знак равно \frac{\partial л}{\partial ф} - \partial_{мю} \frac{\partial л}{\partial [\partial_{мю} ф]}

$\dfrac{\delta L}{\delta\phi}=\dfrac{\partial L}{\partial\phi}-\partial_{\mu}\dfrac{\partial L}{\partial\left[\partial_{\mu}\phi\right]}$ и что

\int d v = \int d^{3} x d t

$\int dv=\int d^{3}xdt$ короче. Сохраняющийся ток, конечно,

{Дж}_{1}^{мю} знак равно я (Ψ^{*} \partial^{мю} Ψ - Ψ \partial^{мю} Ψ^{*})

$j_{1}^{\mu}=\mathbf{i}\left(\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi-\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}\right)$ поскольку

δ S / δ θ = 0 \Rightarrow \partial_{μ} j_{1}^{μ} = 0

$\delta S / \delta \theta =0 \Rightarrow\partial_{\mu}j_{1}^{\mu}=0$ .

Вот мой первый вопрос: действительно ли это демонстрация сохранения заряда? До сих пор мне кажется, что я только продемонстрировал, что число частиц сохраняется, заряда пока нет...

Затем я переключаюсь на локальную калибровочную симметрию. Я начинаю со следующего лагранжиана

л_{2} знак равно (\partial^{мю} + я д А^{мю}) Ψ (\partial_{мю} - я д А_{мю}) Ψ^{*} - м^{2} {| Ψ |}^{2} - \frac{Ф_{мю ν} Ф^{мю ν}}{4}

$L_{2}=\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi\left(\partial_{\mu}-\mathbf{i}qA_{\mu}\right)\Psi^{\ast} -m^{2}\left|\Psi\right|^{2} -\dfrac{F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}{4}$ с

F^{μ ν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}

$F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$ . Этот лагранжиан инвариантен относительно локального калибровочного преобразования

л_{2} [\tilde{Ψ} знак равно е^{я д ф (Икс)} Ψ (Икс), {\tilde{Ψ}}^{*} знак равно е^{- я д ф (Икс)} Ψ^{*}, {\tilde{А}}_{мю} знак равно А_{мю} - \partial_{мю} ф] знак равно л_{2} [Ψ, Ψ^{*}, А_{мю}]

$L_{2}\left[\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi\left(x\right),\tilde{\Psi}^{\ast}=e^{-\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi^{\ast},\tilde{A}_{\mu}=A_{\mu}-\partial_{\mu}\varphi\right]=L_{2}\left[\Psi,\Psi^{\ast},A_{\mu}\right]$

Тогда у меня есть

дельта С знак равно \int г в [\frac{дельта л_{2}}{дельта Ψ} дельта Ψ + \frac{дельта л_{2}}{дельта Ψ^{*}} дельта Ψ^{*} + \frac{дельта л_{2}}{дельта А_{мю}} дельта А_{мю}]

$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta A_{\mu}}\delta A_{\mu}\right]$ с

δ Ψ = i q Ψ δ φ

$\delta\Psi=\mathbf{i}q\Psi\delta\varphi$ ,

δ A_{μ} = - \partial_{μ} δ φ

$\delta A_{\mu}=-\partial_{\mu}\delta\varphi$ , ... такой, что я в конечном итоге с

\frac{дельта С}{дельта ф} знак равно \int г в [я д Ψ \frac{дельта л_{2}}{дельта Ψ} + с . с . + \partial_{мю} [{Дж}_{2}^{мю} - \partial_{ν} Ф^{ν мю}]]

$\dfrac{\delta S}{\delta\varphi}=\int dv\left[\mathbf{i}q\Psi\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}+c.c.+\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]\right]$ с

j_{2}^{μ} = \partial L_{2} / \partial A_{μ}

$j_{2}^{\mu}=\partial L_{2}/\partial A_{\mu}$ и

F^{ν μ} = \partial L_{2} / \partial [\partial_{ν} A_{μ}]

$F^{\nu\mu}=\partial L_{2}/\partial\left[\partial_{\nu}A_{\mu}\right]$

Тогда, применяя уравнения движения, я имею

\partial_{мю} [{Дж}_{2}^{мю} - \partial_{ν} Ф^{ν мю}] знак равно 0 \Rightarrow \partial_{мю} {Дж}_{2}^{мю} знак равно 0

$\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]=0\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$ поскольку

\partial_{μ} \partial_{ν} F^{ν μ} = 0

$\partial_{\mu}\partial_{\nu}F^{\nu\mu}=0$ по конструкции. Конечно, новый ток

{Дж}_{2}^{мю} знак равно я д (Ψ^{*} (\partial^{мю} + я д А^{мю}) Ψ - Ψ (\partial^{мю} - я д А^{мю}) Ψ^{*})

$j_{2}^{\mu}=\mathbf{i}q\left(\Psi^{\ast}\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi-\Psi\left(\partial^{\mu}-\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi^{\ast}\right)$ и явно зависит от заряда. Так что мне кажется, что это лучший кандидат для сохранения заряда.

NB: Как отмечено в http://arxiv.org/abs/hep-th/0009058 , уравнение (27) также можно предположить, что уравнения Максвелла действительны ( $j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu} = 0$ , так как в конце концов они также являются частью уравнения движения, я вернусь к этому позже, что звучит странно для меня), и в итоге мы получим тот же ток, еще раз сохраняющийся.

Тем не менее, у меня все еще есть некоторые проблемы. В самом деле, если я скачкообразно вычисляю уравнения движения из лагранжиана, то получаю (для $A_{\mu}$ уравнение движения)

{Дж}_{2}^{мю} - \partial_{ν} Ф^{ν мю} \Rightarrow \partial_{мю} {Дж}_{2}^{мю} знак равно 0

$j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$ по определению

F^{μ ν}

$F^{\mu \nu}$ тензор.

Итак, мои другие вопросы : есть ли лучший способ показать сохранение ЭМ заряда? Что-то не так с тем, что я сделал до сих пор? Почему теорема Нётер, кажется, не дает мне чего-то, чего нет в уравнениях движения? говоря по-другому: почему я должен использовать нётеровский механизм для чего-то, что внутренне реализовано в лагранжиане и, следовательно, в уравнениях движения для независимых полей? (Это потому, что мой лагранжиан слишком прост? Это из-за нескольких граничных условий, которые я отменяю?)

Заранее спасибо.

PS: У меня такое ощущение, что часть ответа будет заключаться в разнице между тем, что физики высоких энергий называют структурой «на оболочке» и «вне оболочки». Пока так и не понял разницы. Это должен быть мой последний вопрос сегодня :-)

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/48305/2451 и physics.stackexchange.com/q/26990/2451 и ссылки в них.

ФраШелле

Действительно родственное, но не совсем удовлетворительное для меня :-). Почему широко распространено мнение, что глобальная калибровочная симметрия отвечает за сохранение заряда? А местный? Как насчет избыточности локальной симметрии в терминах теоремы Нётер? Сегодня я провел часы на сайте, не найдя правильного ответа. Но я был бы очень рад увидеть это, конечно :-)

Ответы (3)

Теорема Нётер, калибровочная симметрия и сохранение заряда

Связано: physics.stackexchange.com/q/48305/2451 и physics.stackexchange.com/q/26990/2451 и ссылки в них.
Действительно родственное, но не совсем удовлетворительное для меня :-). Почему широко распространено мнение, что глобальная калибровочная симметрия отвечает за сохранение заряда? А местный? Как насчет избыточности локальной симметрии в терминах теоремы Нётер? Сегодня я провел часы на сайте, не найдя правильного ответа. Но я был бы очень рад увидеть это, конечно :-)

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v1):

Последнее в первую очередь. On-shell означает (в этом контексте), что уравнения движения (eom) удовлетворяются. Уравнения движения означают уравнения Эйлера-Лагранжа . Строго говоря, вне оболочки означает не в оболочке, но на практике оно всегда используется в том смысле, что не обязательно находится в оболочке. [Подчеркнем, что всякое бесконечно малое преобразование является симметрией действия на поверхности, поэтому понятие симметрии на поверхности — бессодержательное понятие. Поэтому в физике, когда мы утверждаем, что действие обладает симметрией, всегда неявно подразумевается, что эта симметрия является симметрией вне оболочки. ]
ОП писал: Вот мой первый вопрос: действительно ли это демонстрация сохранения (электрического) заряда? Для этого конкретного действия: Да. В более общем плане для QED: Нет, потому что $4$ калибровочный потенциал $A_{\mu}$ , член Максвелла $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ , и минимальная связь отсутствует в действии OP. В принципе недостаточно смотреть только на материальный сектор. С другой стороны, глобальная калибровочная симметрия для полного действия $S[A,\Psi]$ приводит к сохранению электрического заряда, ср. Первая теорема Нётер . [Два комментария доказывают, что необходимо также учитывать калибровочный сектор: (i) Если бы мы занимались скалярной КЭД (а не обычной КЭД), то известно, что ток Нётер $j^{\mu}$ на самом деле зависит от $4$ калибровочный потенциал $A_{\mu}$ , поэтому калибровочный сектор важен, ср. этот пост Phys.SE. (ii) Другая проблема заключается в том, что если мы будем следовать методу ОП и должны лечить $4$ -калибровочный потенциал $A_{\mu}$ как классический фон (который OP обнуляет), то, по-видимому, мы также должны принять уравнения Максвелла $d_{\mu}F^{\mu\nu}=-j^{\nu}$ . Уравнения Максвелла сами по себе влекут за собой уравнение неразрывности $d_{\mu}J^{\mu}=0$ еще до того, как мы применим теоремы Нётер.]
Не существует сохраняющейся величины, связанной с локальной калибровочной симметрией как таковой, ср. Вторая теорема Нётер . (Его нётеровская идентичность вне оболочки — тривиальная вещь. См. также этот вопрос Phys.SE.)
Возможно, полезное сравнение. Можно рассмотреть ЭМ модель вида
$С [А] знак равно \int г^{4} Икс (- \frac{1}{4} Ф_{мю ν} Ф^{мю ν} + {Дж}^{мю} А_{мю}),$ $S[A]~=~\int\! d^4x~ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{\mu}A_{\mu}\right),$ куда $J^{\mu}$ рассматриваются как пассивные нединамические классические источники фонового вещества. Другими словами, только калибровочные поля $A_{\mu}$ являются динамическими переменными в этой модели. Прежде чем мы начнем, мы должны обеспечить локальную (внешней) калибровочную симметрию действия $S[A]$ до граничных условий. Это означает, что классические фоновые источники $J^{\mu}$ должно удовлетворять уравнению неразрывности $d_{\mu}J^{\mu}=0$ вне оболочки. Таким образом, нам навязывают закон сохранения еще до того, как мы применим теоремы Нётер. Обратите внимание, что глобальная калибровочная симметрия является пустым утверждением в этой модели.

1. Спасибо за этот ответ 2. Я до сих пор не понимаю, почему добавление новых элементов в лагранжиан изменит текущий, так как все члены в лагранжиане просто складываются, как в этом посте: physics.stackexchange.com/q/48305 . Наконец, 3. Я никогда не навязываю $j = \partial F$ в аргументе локальной калибровки это то, что выходит из eom, вопреки тому, что утверждается в этом сообщении: physics.stackexchange.com/q/26990 .
1. Добро пожаловать. 2. То, что ваш метод дает правильный результат, не означает, что он правильный. 3. Имейте в виду, что ответ Любоша Мотля работает с двумя разными определениями $j^{\mu}$ .
В точку ! И хотелось бы понять почему :-) Есть ли книга, где обсуждаются эти вопросы? Ициксон и Зубер описали для меня слишком много случаев. Я подумал, что ссылка Брейдинга и Брауна в порядке (как я дал в своем вопросе). Видимо, вы сказали мне, что там много ошибок... но я сделал расчет в деталях, так где же (есть :-) ошибки? Я пробовал читать Эйчисона и Хея, но теорема Нётер на самом деле не связана с их изложением. Вайнберг слишком небрежен для меня. Я также проверил Накахара и Франкеля (геометрия и физика): только...
... рассматривается первая теорема Нётер. Вот и начинаю ломать голову, считать и спрашивать у вас :-) !
Я просто вижу ваше последнее редактирование (пункт 4). Большое спасибо за это яркое замечание! Я как раз учитывал этот момент, когда рассматривал локальную калибровочную симметрию, но я никогда не думал, что калибровочная симметрия «вне оболочки». Теперь я немного лучше понимаю ваши предыдущие замечания. Большое спасибо еще раз. Но, если я понимаю вашу точку зрения, это означает, что каждая симметрия находится «вне оболочки», поскольку она должна быть подключена к лагранжиану, прежде чем можно будет надеяться на правильность любого расчета. Я прав ? Не правда ли, это немного несправедливо, так как изменение симметрии должно изменить лагранжиан, затем изменить eom,...
... тогда измените структуру "в оболочке", не так ли? Или мне опять что-то непонятно? Кстати, еще раз спасибо за это замечание. Я немного прогрессирую в QFT благодаря вам.
Heu, мой плохой ... Я думаю, что, возможно, понял эту проблему "вне оболочки" для конкретного лагранжиана, который вы дали ... это действительно не локальный калибровочный инвариант, поэтому калибровочная симметрия обязательно "вне оболочки" в этом случае . Я прав ? Но могли бы вы сказать, что для гамильтониана, который я дал в вопросе, локальная калибровочная симметрия «вне оболочки»? Я так не думаю. Я прав ?
1. Да, всякое бесконечно малое преобразование является симметрией действия на поверхности, поэтому симметрия на поверхности — бессодержательное понятие. 2. Для начала мы рассматриваем только ЭМ действия с локальной (внешней) калибровочной инвариантностью. 3. Предлагаю для простоты вести обсуждение по лагранжевой схеме. Формулировка гамильтониана принадлежит другому посту Phys.SE.
Упс, опять плохо. Я слишком привык обсуждать только гамильтониан, что сделал ошибку. Я говорил о лагранжиане, который я дал для локального калибровочного преобразования.
Сегодня я обсуждал это с другом, более вовлеченным в КТП, и он привел мне следующий аргумент о том, что находится внутри/вне оболочки: когда речь идет о разложении теории возмущений, нужно заботиться о свойствах (симметриях), которые проверяет лагранжиан, и о том, что каждый член в разложении также следует проверять (и то, что вы можете ввести вручную), и дополнительное требование сохраняющихся величин (ток), которое система внутренне проверяет, поскольку оно исходит из уравнений движения. Первые величины (вытекающие, например, из глобальной калибровочной симметрии) называются внешними, тогда как вторые называются внутренними.
Не могли бы вы подтвердить (или исправить) это утверждение?
Понятие « внутри оболочки» и « вне оболочки » объясняется в начале ответа. Это важные понятия в формулировке 1-й и 2-й теорем Нётер.
Хорошо спасибо. Мне было интересно , почему в QFT так важно различать on и off shell?
На самом деле я разместил новый вопрос об этом, так как я думаю, что определение не является объяснением :-). Это там: физика.stackexchange.com/q/ 59333
Что касается 3.: безусловно, существует сохраняющийся ток, связанный с локальной калибровочной инвариантностью - это ток Нётер, связанный с глобальной подгруппой, в которой калибровочный параметр постоянен. Верно то, что оно сохраняется только в том случае, если вы принимаете либо калибровочное уравнение, либо уравнение движения поля материи, но это типично для нётеровых токов.
1. Уравнения Максвелла сами по себе предполагают сохранение заряда без использования теорем Нётер или калибровочной симметрии. 2. Доказательство сохранения заряда с помощью первой теоремы Нётер и глобальной калибровочной симметрии не использует уравнения Максвелла.
Привет, разве это не противоречие между 3 и 4 в вашем ответе? Что касается примера, который вы привели в 4, действительно существует сохраняющаяся величина (т. е. фоновые источники), связанная с локальной калибровочной симметрией. Поэтому я не понимаю, почему вы сказали: «Нет сохраняющейся величины, связанной с локальной калибровочной симметрией» в 3.
Исходный ток отличается от второго нётеровского тока.

Мэтт Рис · Answer 2

Действительно ли это демонстрация сохранения заряда?

Да. Плата определяется как $Q = \int d^3x~j^0$ , так $\partial_\mu j^\mu = 0$ показывает, что он сохраняется.

До сих пор мне кажется, что я только продемонстрировал, что поток вероятностей сохраняется, заряда пока нет...

Вы продемонстрировали, что ток сохраняется. Я не думаю, что вам следует называть это «потоком вероятности»; похоже вы путаете $\Psi$ с волновой функцией, когда на самом деле это квантовое поле.

Упс, вы совершенно правы, я запутался $\Psi$ и скажи $\left| \Psi \right)$ ! Я должен был сказать: звучит так, будто я только что доказал сохранение числа частиц (которое, как я знаю, можно назвать (нётеровским) зарядом, но я, конечно, пытаюсь понять электромагнитный заряд). Я редактирую вопрос. Спасибо за замечание. Я также постараюсь внести некоторые изменения в комментарии Qmechanic. Еще раз спасибо.

Любош Мотл · Answer 3

ОП попросил меня дать ответ на этот вопрос. Что ж, все вопросы, похоже, касаются «необходимости» теоремы Нётер.

Таким образом, ответ заключается в том, что процедура Нётер — это способ вывести ток из известной симметрии. Это очень полезно, потому что мы обычно очень хорошо знаем, как действует симметрия — потому что мы знаем, как преобразуется поле под ней или как вещи вращаются или смещаются под действием пространственно-временных операций и т. д. С другой стороны, точная форма сохраняющегося тока становится гораздо менее очевидной. , особенно когда мы начинаем добавлять различные взаимодействия. Существует «почти» только одно решение, каким может быть ток для сохранения, и процедура Нётер — это способ получить эту правильную форму. Ну да, форма тока "заключена" в лагранжиане или уравнениях движения, но как ее "извлечь" не очевидно - вот почему мы так дорожим процедурой Нётер. Если у вас есть другой алгоритм, как его извлечь, сообщите нам,

Теперь вернемся к первому примеру в вопросе.

Для невзаимодействующих полей число частиц – их квантов – сохраняется полностью. В самом деле, каждое свободное поле видов $s$ в каждом состоянии, заданном импульсом $k$ и поляризация $\lambda$ и т. д. сохраняется, $N_{s,\lambda,\dots}(k,\dots)={\rm const}$ . Но это, очевидно, просто особая ситуация, когда взаимодействий не существует, и этот случай физически не интересен.

Интересные теории начинаются только тогда, когда у нас есть некоторые взаимодействия. Они разрушают почти все эти «законы сохранения». В частности, неверно, что число частиц сохраняется в квантовой теории поля. Мы можем создавать пары электрон-позитрон из чистой энергии и так далее. Сохраняются только некоторые величины, такие как заряды, энергия/импульс, угловой момент, они находятся во взаимно однозначном соответствии с симметриями, и соответствующие токи (включая тензор энергии-импульса) могут быть получены с помощью процедуры Нётер.

Теорема Нётер, калибровочная симметрия и сохранение заряда

ФраШелле

Qмеханик

ФраШелле

Ответы (3)

Qмеханик

ФраШелле

Qмеханик

ФраШелле

ФраШелле

ФраШелле

ФраШелле

ФраШелле

Qмеханик

ФраШелле

ФраШелле

ФраШелле

Qмеханик

ФраШелле

ФраШелле

тпаркер

Qмеханик

Кай Ли

Qмеханик

Мэтт Рис

ФраШелле

Любош Мотл

Какой закон сохранения соответствует этой локальной U(1)U(1)U(1)-симметрии CCR?

Почему в качестве сохраняющейся величины используется только третья компонента слабого изоспина?

Почему глобальные фазовые превращения приводят к сохранению заряда?

Физическая интерпретация сохраняющегося заряда уравнения Клейна-Гордона

Скалярное поле дает частицы со спином 000

Ковариантная формула Лоренца для зарядов Нётер в КТП

Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Можно ли нарушить закон сохранения импульса?

Ток Нётера для лагранжиана Янга-Миллса-Хиггса

Сохраняется ли буст-оператор (в контексте КТП)?