Крепление датчика и уравнения движения

1. Здесь мы будем предполагать, что в конечном итоге хотим рассмотреть полную квантовую теорию, обычно записываемую в терминах интеграла по путям с фиксированной калибровкой.

   $$Z~=~\int \!{\cal D}\phi~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{\rm gf}[\phi]\right) \tag{1}$$ а не просто классическое действие и соответствующие классические уравнения движения (с членами, фиксирующими калибровку, или без них). Если калибровочные орбиты имеют бесконечный объем (как это часто бывает), нам необходимо калибровочно зафиксировать интеграл по путям.

   Конечно, если бы мы грубой силой исключили поле из действия через условие фиксирования калибровки, то мы уже не можем проводить вариацию действия по отношению к этому полю, и мы потеряли бы информацию.

2. Однако здесь мы рассмотрим только «более мягкий» способ наложения условий фиксирования калибровки через множители Лагранжа , которые могут появляться линейно или квадратично в фиксированном калибровочном действии. Линейный случай приводит непосредственно к дельта-функциям в интеграле по траекториям, которые накладывают условия фиксации калибровки; в то время как квадратичный случай приводит к гауссовым членам интеграла по траекториям, которые подавляют (но не полностью запрещают) конфигурации поля, нарушающие условие фиксирования калибровки. (Тем не менее, в определенном пределе масштабирования гауссовские факторы становятся дельта-функциями.)

   Вместе с исходными полями в состав полей входят (нераспространяющиеся, вспомогательные) множители Лагранжа$\phi$в интеграле по путям, который интегрируется. В частности, фиксированное калибровочное действие$S_{\rm gf}[\phi]$можно варьировать и по этим полям множителей Лагранжа.

   Эти «мягко наложенные» условия фиксации калибровки по-прежнему влияют на изменение действия (в отличие от того, чтобы не навязывать условия фиксации калибровки). Однако более актуальным является вопрос:

   Зависят ли калибровочно-инвариантные физические наблюдаемые теории от конкретного условия фиксации калибровки (например, калибровки Лоренца, кулоновской калибровки и т. д.)?

   Ответ — нет, т. е. внутри класса непротиворечивых фиксирующих калибровку членов в действии конкретный вид определяющих калибровку членов в соответствующих уравнениях движения не имеет физических следствий.

3. Для более общих калибровочных теорий уравнения движения, например, не являются калибровочно-инвариантными, и калибровочную симметрию лучше кодировать с помощью (обобщенной) фермионной нильпотентной БРСТ-симметрии. $\delta$что возводится в ноль

   $$\delta^2~=~0,\tag{2}$$ и сохраняет исходное действие $$\delta S_0~=~0.\tag{3}$$ Действие с фиксированным калибром $$S_{\rm gf}=S_0+\delta\psi\tag{4}$$ это оригинальное действие$S_0$плюс BRST-точный термин$\delta\psi$это зависит от так называемого фермиона, фиксирующего калибровку$\psi$, который кодирует условия фиксирования калибровки.

   Физическая наблюдаемая$F=F[\phi]$в теории по определению должен быть BRST-замкнутым

   $$\delta F~=~0.\tag{5}$$

   Заявление. Если мера интеграла по путям BRST-инвариантна, то корреляционная функция для физической наблюдаемой

   $$\langle F[\phi] \rangle ~=~ \frac{ \int \!{\cal D}\phi~ F[\phi]\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{\rm gf}[\phi]\right)} {\int \!{\cal D}\phi~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{\rm gf}[\phi]\right)} \tag{6}$$ не зависит от фермиона, фиксирующего калибровку$\psi$.

   Лемма 1. Если$F$является BRST-замкнутым и$\delta G$является BRST-точным, то произведение$F\delta G$является BRST-точной.

   Лемма 2. Корреляционная функция

   $$\langle \delta F \rangle ~=~0\tag{7}$$ BRST-точной наблюдаемой обращается в нуль.

   Лемма 2 следует из предположения$\delta$быть эрмитовым оператором.

   Доказательство утверждения: если$\widetilde{\psi}$является еще одним фермионом, фиксирующим калибровку, то с помощью леммы 1 можно показать, что разница между$F$-наблюдаемые для различных фермионов, фиксирующих калибровку$\widetilde{\psi}$и$\psi$является

   $$\left\{ \exp\left(\frac{i}{\hbar}\delta(\widetilde{\psi}-\psi)\right)-1\right\}F~=~\delta(\ldots), \tag{8}$$ которая является BRST-точной и, следовательно, имеет исчезающую корреляционную функцию, ср. лемма 2.$\Box$

   Следует подчеркнуть, что фермион, фиксирующий калибровку, должен удовлетворять определенным ранговым условиям и, например, его нельзя выбрать тождественно равным нулю.

4. Наконец, отметим, что с помощью формализма Баталина-Вилковиского (БВ) можно рассматривать еще более широкий класс лагранжевых калибровочных теорий.

Нет, не всегда последовательно сначала фиксировать датчик, прежде чем выводить уравнения движения. Рассмотрим электромагнетизм, связанный с материей. Можно выполнить калибровочное преобразование, чтобы установить$A_0=0$. Однако если это сделать в действии до вывода уравнений движения, то будет упущена$A_0$уравнение движения, гарантирующее сохранение электрического заряда.

При попытке вывести достаточно симметричные решения иногда можно начать с выбора подходящего анзаца даже на уровне действия. Но это своего рода искусство, и нет гарантии, что оно согласуется с полными уравнениями движения, оцениваемыми на основе того же анзаца.