Калибровочная ковариантная производная присоединенного действия: ψ(x)→gψ(x)g−1ψ(x)→gψ(x)g−1\psi(x) \to g \psi(x) g^{-1} вместо левого действия ψ(x)→eiqθ(x)ψ(x)ψ(x)→eiqθ(x)ψ(x)\psi(x)\to e^{iq\theta(x)} \ фунтов на квадратный дюйм (х)

Во-первых, позвольте мне устранить возможную путаницу: поскольку вы назвали вопрос «электромагнетизм», я предполагаю, что вы собираетесь$U(1)$симметрия. В этом случае сопряженное не преобразуется, так как группа абелева (это видно, потому что если$\psi(x)$находится в неприводимом представлении, то это просто сложная функция, а не вектор:$g$и$\psi$коммутируют, поэтому преобразование является тождеством). Так что ваш вопрос тривиален для электромагнетизма: ковариантная производная поля$\psi(x)$в присоединенном представлении есть просто стандартная производная.

Но давайте все же посмотрим ответ для неабелевой группы. Поле$\psi(x)$в присоединенном представлении будет линейной комбинацией образующих$T^a$присоединенного представления (задаваемого структурными константами). Как получить ковариантную производную такой вещи? Ну и от самого преображения!

Поскольку я слежу за книгой (Микеле Маджоре «Современное введение в квантовую теорию поля»), простите меня за изменение условностей. То, о чем я говорю, находится в разделе 10.4. Я настоятельно рекомендую эту книгу, она очень хорошая.

Каково общее преобразование поля в любом представлении, натянутом генераторами$T^a$присоединенного представления? Общее поле в представлении можно записать в компонентах как

$$\psi(x)=\psi^a(x) T^a.$$ Поля компонента$\psi^a$имеют по определению следующую производную: $$(D_\mu\psi)^a(x)=\partial_\mu\psi^a(x)-\mathrm i g (A_\mu^c(x)T^c)^{ab}\psi^b(x).$$ Термин справа в основном представляет собой умножение матрицы соединения$A_\mu^c(x)T^c$. Я здесь использую тот факт, что присоединенное представление имеет ту же размерность, что и размерность алгебры Ли. Я буду держать все индексы, кроме индекса пространства-времени.$\mu$.

Теперь свяжите то, что у вас есть, с генераторами, и давайте не будем включать все индексы: вы получите

$$(D_\mu\psi)^a(T^a)^{bc}=(\partial_\mu \psi^a)(T^a)^{bc}-\mathrm i g A_\mu^d(T^d)^{ae}(T^a)^{bc}\psi^e.$$ Теперь воспользуемся тем, что генераторами являются структурные константы,$(T^a)^{bc}=-\mathrm i f^{abc}$. Вы можете переписать произведение$T$как $$(T^d)^{ae}(T^a)^{bc}=-f^{dae}f^{abc}=f^{dac}f^{eba}-f^{eac}f^{dba}=(T^e)^{ac}(T^d)^{ba}-(T^d)^{ac}(T^e)^{ba}=[T^d,T^e]^{cb}.$$ Здесь я использовал антисимметрию и тождество Якоби для структурных констант. Пожалуйста, проверьте мои знаки!

Вернемся к нашему расширению.

$$(D_\mu\psi)^a(T^a)^{bc}=\partial_\mu\psi^a(T^a)^{bc}-\mathrm i g A_\mu^d[T^d,T^e]^{bc}\psi^e.$$ В матричном представлении получаем $$D_\mu\psi=\partial_\mu\psi-\mathrm i g[A_\mu,\psi].$$ Это обобщение (1) на поля в присоединенном представлении. Определение тензора напряженности поля остается неизменным.