Почему калибровочный потенциал AµAµA_{\mu} находится в алгебре Ли калибровочной группы GGG?

Калибровочный потенциал — это объект, который при введении в ковариантную производную предназначен для сокращения членов, портящих линейное преобразование поля под калибровочной группой. Каждое калибровочное преобразование$g:\Sigma\to G$(в пространстве-времени$\Sigma$), связанный с тождеством, может быть записан как$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi(x)}$для некоторой алгебры Ли со значением$\chi: \Sigma\to\mathfrak{g}$. Производная преобразованного поля равна

$$\partial_\mu(g\phi) = \partial_\mu(g)\phi + g\partial_\mu\phi = g(g^{-1}(\partial_\mu g) + \partial_\mu)\phi$$ и это $g^{-1}(\partial_\mu g) = \partial_\mu\chi$что мы хотим отменить здесь, добавив поле датчика, чтобы $D_\mu(g\phi) = gD_\mu\phi$. С $\partial_\mu\chi$имеет значение алгебры Ли, поэтому должно калибровочное поле $A$мы добавляем, и он должен преобразоваться как $$A\overset{g(x)}{\mapsto} gAg^{-1} - g^{-1}\mathrm{d} g$$ чтобы отменить условия, которые мы хотим отменить.