Калибровочная симметрия массивного векторного поля

Рассмотрим реальное массивное векторное поле с лагранжевой плотностью

л "=" − 1 4 ( ∂ мю А ν − ∂ ν А мю ) ( ∂ мю А ν − ∂ ν А мю ) + 1 2 м 2 А мю А мю (1) "=" − 1 2 ( ∂ мю А ν − ∂ ν А мю ) ∂ мю А ν + 1 2 м 2 А мю А мю .

При локальном калибровочном преобразовании А мю ⟶ А мю + ∂ мю ф лагранжева плотность не является инвариантной

(2) л ⟶   л + 1 2 м 2 ( 2 А мю + ∂ мю ф ) ∂ мю ф "=" л − 1 2 м 2 ф ( 2 ∂ мю А мю + ◻ ф )

если мы не возьмем ф что удовлетворяет

(3) ◻ ф "=" − 2 ∂ мю А мю .

Уравнения движения для векторного поля имеют вид

(4) ( ◻ + м 2 ) А мю − ∂ мю ∂ ν А ν "=" 0 ,
и принимая его расхождение ∂ мю мы получаем
(5) ∂ мю А мю "=" 0 .

Это тождество является калибровкой Лоренца, но оно выполняется автоматически. Затем из ( 3 ) , А мю ⟶ А мю + ∂ мю ф является симметрией теории до тех пор, пока ◻ ф "=" 0 . Можно ли это считать своего рода «частичной» или «приведенной» калибровочной симметрией?

Редактировать: Я понял одну вещь.

С ( 5 ) , эом ( 4 ) становится

(6) ( ◻ + м 2 ) А мю "=" 0 ,
но это уравнение не инвариантно относительно преобразования А мю ⟶ А мю + ∂ мю ф даже если ◻ ф "=" 0 . Почему это уравнение не инвариантно, а лагранжева плотность инвариантна?

Ответы (1)

  1. Симметрии действия необходимо рассматривать без использования уравнений движения . Симметрия на оболочке - бессодержательное понятие - если вы используете уравнения движения, как вы это делаете при использовании уравнения. (5) сделать вывод, что ◻ ф "=" 0 должна быть симметрией, то любое бесконечно малое преобразование действия оставит действие инвариантным именно потому, что уравнения движения отмечают стационарную точку действия, а определение стационарной точки более или менее состоит в том, что все бесконечно малые вариации исчезают. См. также этот ответ и связанные с ним ответы от Qmechanic.

  2. Именно потому, что симметрии следует рассматривать вне оболочки, ваше уравнение. (3) противоречиво. Так как мы вне оболочки, А мю является произвольным полем, не принимающим никаких конкретных значений, но ф должна быть фиксированной функцией. Поскольку ур. (3) не может выполняться вне оболочки для произвольного А мю калибровочной инвариантности действия массивного векторного поля нет .

  3. Как обсуждалось в этом моем ответе , гамильтонова теория массивного векторного поля имеет два ограничения:

    π 0 ≈ 0 ∂ я π я + м 2 А 0 ≈ 0
    Скобка Пуассона этих ограничений не равна нулю, поэтому они оба являются ограничениями второго класса , но только ограничения первого класса могут генерировать калибровочные преобразования, см. пункты 4 и 5 в этом моем ответе . Следовательно, теория массивного векторного поля ограничена , но не является калибровочной теорией .

Калибровочная симметрия массивного векторного поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v