Вопрос о физической степени свободы в теории Максвелла: почему кулоновская калибровка может исправить все избыточные степени свободы

Question

Вопрос о физической степени свободы в теории Максвелла: почему кулоновская калибровка может исправить все избыточные степени свободы

Анонимный

Данный $4$ -потенциал $A^\mu(x)=(\phi(x),\mathbf{A}(x))$ , вакуумные уравнения Максвелла:

\nabla^{2} ф + \frac{\partial}{\partial т} (\nabla \cdot А) "=" 0

$\nabla^2\phi+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot \mathbf{A} )=0$

\nabla^{2} А - \frac{\partial^{2} А}{\partial т^{2}} - \nabla (\nabla \cdot А + \frac{\partial ф}{\partial т}) "=" 0

$\nabla^2 \mathbf{A} -\frac{\partial^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} - \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\partial \phi}{\partial t})=0$

Существует избыточная степень свободы (степень свободы) в $A^\mu(x)$ :

А^{мю} (Икс) \to А^{мю} (Икс) + \partial^{мю} λ (Икс)

$A^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x) +\partial^\mu \lambda(x)$

В кулоновской калибровке:

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot А (Икс) "=" 0 \end{matrix}

$\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0 \tag{1}$ Вакуумное уравнение Максвеля принимает вид:

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} ф "=" 0 \end{matrix}

$\nabla^2\phi =0 \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} А - \frac{\partial^{2} А}{\partial т^{2}} "=" \nabla (\frac{\partial ф}{\partial т}) \end{matrix}

$\nabla^2 \mathbf{A} -\frac{\partial^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} = \nabla( \frac{\partial \phi}{\partial t}) \tag{3}$

Тогда мы всегда можем выбрать $\phi(x)=0$ . Таким образом, возникает вопрос, что физическая степень свободы $A^\mu(x)= (0,\mathbf{A}(x))$ с одним ограничением $\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0$ . В каждом учебнике говорится, что физическая степень свободы равна $2$ . Но кажется есть еще лишние степени свободы, мы всегда можем сделать

А (Икс, т) \to А (Икс, т) + \nabla Λ (Икс)

$\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\rightarrow \mathbf{A}(\mathbf{x},t)+\nabla \Lambda(\mathbf{x})$ такой, что

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} Λ (Икс) "=" 0 \end{matrix}

$\nabla^2 \Lambda(\mathbf{x}) =0\tag{4}$ Но приведенное выше уравнение является уравнением Лапласа , которое имеет нетривиальные решения, гармоническую функцию . Например,

Λ (x) = x y z

$\Lambda(\mathbf{x}) = xyz$ .

Мои вопросы

С использованием $\phi(x) =0$ и $\nabla\cdot \mathbf{A}(\mathbf{x},t)=0$ , я вычел две лишние степени свободы , зачем исправлять $\Lambda(\mathbf{x})$ дальше нельзя вычесть более избыточный степенями свободы?
Многие учебники утверждают, что $A^\mu(x)$ должно обращаться в нуль на пространственной бесконечности, поэтому уравнение Лапласа $(4)$ с нулевым граничным условием на бесконечности имеет только тривиальное решение. Но почему мы должны требовать $A^{\mu}$ исчезнуть в пространственной бесконечности? Например, однородное магнитное поле имеет $\mathbf{A}(x) = \mathbf{B}\times \mathbf{r}/2$ который не исчезает в бесконечности. Если вам это требуется $A^\mu$ обращаются в нуль на пространственной бесконечности, вы даже не можете получить решения для постоянного электрического или магнитного поля из уравнений Максвелла Вакуума. И даже решение электромагнитной волны $e^{i k(t -x)}$ также не обращается в нуль на пространственной бесконечности. Этот вопрос имеет некоторое отношение к фиксации кулоновской калибровки и «нормализуемости».
Почему в учебнике говорится: «Калибровка Лоренца является лоренц-инвариантной, но не может исправить все избыточные степени свободы. Кулоновская калибровка может исправить все избыточные степени свободы, но не является лоренц-инвариантной». Но очевидно, что только кулоновская калибровка $(1)$ также не может исправить все избыточные степени свободы. Мы видим, что фиксация датчика $\phi =0$ не является следствием $(2)$ . Это навязано искусственно и $\phi=0$ не зависит от кулоновской калибровки. Например, вакуумные уравнения Максвелла $(2),(3)$ может иметь решение для однородного электрического поля $\phi(x)=-\mathbf{E}\cdot \mathbf{r}$ , $\mathbf{A}=0$ удовлетворяющая только кулоновской калибровке $(1)$ но $\phi(x)\neq 0$ . Если мы требуем $\phi=0$ и $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ , решение становится $\phi=0$ и $\mathbf{A}= \mathbf{E} t$ .

СлучайныйПреобразование Фурье

см. также Подсчет числа распространяющихся степеней свободы в калибровочной электродинамике Лоренца и Подсчет степеней свободы калибровочных бозонов .

пользователь153663

@AccidentalFourierTransform Я знаю, как считать таким образом. Это просто каждая книга скажет. Я хочу объяснить противоречие в моем вопросе.

СлучайныйПреобразование Фурье

Важное замечание: постоянное электромагнитное поле — очень патологическое понятие. «Реальные» электромагнитные поля действительно исчезают в пространственной бесконечности.

пользователь153663

@AccidentalFourierTransform Я просто хочу поговорить о самой теории. И если вам требуется

A^{μ}

$A^\mu$ обращаются в нуль на пространственной бесконечности, мы не можем получить решение для однородного электрического поля из уравнений Максвелла.

Дж. Мюррей

@ fff123123 Выбор граничных условий является неотъемлемой частью работы с потенциалами. На самом деле не имеет значения, какое граничное условие вы выберете — пока вы выбираете одно, кулоновская калибровка использует всю остаточную свободу, потому что решения уравнения Лапласа однозначно определяются своими граничными условиями. Единственным строго физическим граничным условием является условие, которое обращается в нуль на пространственной бесконечности, но с математической точки зрения вы можете выбрать все, что захотите.

пользователь153663

@ J.Murray Физическое граничное условие должно быть добавлено.

E

$\mathbf{E}$ и

B

$\mathbf{B}$ . Итак, граничное условие на

A^{μ}

$A^\mu$ является нелокальным. На самом деле любое решение уравнения Максвелла плюс градус гармонической функции

Λ (x)

$\Lambda(\mathbf{x})$ по-прежнему является решением, удовлетворяющим граничным условиям электрического поля и магнитного поля.

Дж. Мюррей

@ fff123123 Извините за мой небрежный язык, вы совершенно правы. Однако добавление неисчезающей гармонической калибровочной функции делает глупые вещи, такие как отсоединение идеи электрического потенциала от идеи электрической потенциальной энергии, делает электростатический потенциал точечного заряда более не сферически симметричным и т. д. и т. д. Навязывание физических симметрий на уровне из потенциалов — это выбор, который я бы в общих чертах назвал физическим.

СлучайныйПреобразование Фурье

Возможный дубликат калибровки Фаддеева-Попова в электромагнетизме

Ответы (2)

Вопрос о физической степени свободы в теории Максвелла: почему кулоновская калибровка может исправить все избыточные степени свободы

см. также Подсчет числа распространяющихся степеней свободы в калибровочной электродинамике Лоренца и Подсчет степеней свободы калибровочных бозонов .
@AccidentalFourierTransform Я знаю, как считать таким образом. Это просто каждая книга скажет. Я хочу объяснить противоречие в моем вопросе.
Важное замечание: постоянное электромагнитное поле — очень патологическое понятие. «Реальные» электромагнитные поля действительно исчезают в пространственной бесконечности.
@AccidentalFourierTransform Я просто хочу поговорить о самой теории. И если вам требуется $A^\mu$ обращаются в нуль на пространственной бесконечности, мы не можем получить решение для однородного электрического поля из уравнений Максвелла.
@ fff123123 Выбор граничных условий является неотъемлемой частью работы с потенциалами. На самом деле не имеет значения, какое граничное условие вы выберете — пока вы выбираете одно, кулоновская калибровка использует всю остаточную свободу, потому что решения уравнения Лапласа однозначно определяются своими граничными условиями. Единственным строго физическим граничным условием является условие, которое обращается в нуль на пространственной бесконечности, но с математической точки зрения вы можете выбрать все, что захотите.
@ J.Murray Физическое граничное условие должно быть добавлено. $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ . Итак, граничное условие на $A^\mu$ является нелокальным. На самом деле любое решение уравнения Максвелла плюс градус гармонической функции $\Lambda(\mathbf{x})$ по-прежнему является решением, удовлетворяющим граничным условиям электрического поля и магнитного поля.
@ fff123123 Извините за мой небрежный язык, вы совершенно правы. Однако добавление неисчезающей гармонической калибровочной функции делает глупые вещи, такие как отсоединение идеи электрического потенциала от идеи электрической потенциальной энергии, делает электростатический потенциал точечного заряда более не сферически симметричным и т. д. и т. д. Навязывание физических симметрий на уровне из потенциалов — это выбор, который я бы в общих чертах назвал физическим.
Возможный дубликат калибровки Фаддеева-Попова в электромагнетизме

Прахар · Answer 1

Главное, с чем здесь нужно быть осторожным, — это граничные условия на калибровочном поле $A_\mu(x)$ и калибровочный параметр $\Lambda(x)$ . В частности, набор калибровочных преобразований, которые можно «откалибровать», должен обращаться в нуль на «бесконечности». Под бесконечностью здесь часто подразумевают как пространственную бесконечность, так и нулевую бесконечность. Вы не можете исправить «большие калибровочные преобразования», также известные как глобальные калибровочные преобразования, поскольку они соответствуют фактическим физическим симметриям теории с физическими последствиями для системы (выведенными с помощью законов сохранения). Самый простой такой пример, когда $\Lambda(x) = \lambda =$ постоянный. Эти калибровочные симметрии приводят к сохранению заряда и очень важны. Их нельзя и не следует удалять. Сказав это, вернемся к уравнению в кулоновской калибровке. Остаточные калибровочные преобразования порождаются функциями $\Lambda(x)$ удовлетворяющий
$\nabla^{2} Λ (Икс) "=" 0, Λ (Икс) \to 0 на бесконечности.$ $\nabla^2 \Lambda(x) = 0 \, , \qquad \Lambda(x) \to 0 ~~\text{at infinity.}$ Теперь вы можете убедить себя, что единственным решением этих уравнений является $Λ (Икс) "=" 0 .$ $\Lambda(x) = 0\, .$ Это ответ на ваш первый вопрос.
Ответом на ваш второй вопрос о «почему» этих граничных условий является требование конечного потока энергии через границы системы. Идея состоит в том, что мы ограничиваемся решениями, которые обладают тем свойством, что если конечная энергия поступает в систему через определенную границу, то конечная энергия должна выделяться из системы. Здесь я не говорю об общей энергии, которая всегда будет фиксированной из-за сохранения энергии. Здесь мы говорим о локальном потоке энергии через каждую границу. Нас интересуют только решения уравнений Максвелла, в которых даже локальная плотность энергии конечна во всех точках и не создаются сингулярности. Все такие решения должны обладать свойством «исчезать» подходящим образом вблизи подходящей границы. Это требование, как вы правильно указываете, исключает постоянные электрические или магнитные поля, полная энергия которых пропорциональна объему системы. Волновые решения не умирают в пространственной бесконечности, но это нормально, поскольку пространственная бесконечность не является подходящей границей для этих решений. Волнообразные решения движутся наружу и достигают нулевой бесконечности ${\mathscr I}^+$ в отличие от пространственной бесконечности. Другими словами, даже если волновые решения не обращаются в нуль на пространственной бесконечности, они не дают там вклада в плотность энергии. Поэтому нам нужно, чтобы поток энергии на ${\mathscr I}^+$ из-за волновых решений конечны, и вы можете проверить, что это действительно так.
$\phi(x) \neq 0$ не означает, что это степень свободы. Степень свободы определяется как «часть» или компонент поля. $A_\mu(x)$ это не определяется уравнениями движения, и поэтому он совершенно свободен в выборе. Точнее говоря, степень свободы — это данные, которые должны быть предписаны (совершенно свободно) на поверхности Коши, чтобы обеспечить уникальную временную эволюцию в прошлое и будущее. Это та часть информации о поле, которая полностью определяет все остальные его аспекты. Таким образом, $\phi$ никогда не бывает степенью свободы. В любой калибровке, которую вы выберете, легко увидеть, что она полностью определяется в терминах $A_i(x)$ .

Зохаиб Аарфи · Answer 2

1: $A^\mu$ поле соответствует фотонному полю, и мы знаем, что фотон имеет две степени свободы с точки зрения его поляризации. Он может быть правополяризованным или левополяризованным. Таким образом, непротиворечивая теория также должна давать 2 степени свободы.

Давайте проанализируем кулоновскую калибровку. У нас есть четыре компонента $A^\mu$ , означает 4 степени свободы. Мы исправляем $\phi =0$ что устраняет одну степень свободы. Тогда у нас остается 3 степени свободы. Затем $\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0 \tag{1}$ показывает, что 3 компонента связаны между собой и 1 из 3 может быть выражен через 2 других компонента. Итак, мы удалили еще один DOF. Следовательно, теория становится непротиворечивой, если наложить ограничение на калибровочное поле. Этот тип фиксации датчика называется фиксацией датчика класса 1.

2: Я не знаю о вашем втором вопросе.

3: Вы думаете правильно, но вы упускаете одну вещь, которую мы не понимаем $\phi=0$ от любой теоретической процедуры, это наш собственный выбор, это заставляет нашу теорию работать, поэтому мы навязываем ее и ничего больше. Теперь перейдем к лоренц-инвариантности. Ограничения учитываются при квантовании теории. датчик Лоренца $\partial^\mu A_\mu=0$ дает нам 3 степени свободы (одна дополнительная нефизическая степень свободы), но в конце, когда мы квантуем, мы получаем скобки Пуассона в ковариантной форме (временные/пространственные компоненты объединяются в компактной форме). С другой стороны, когда мы берем кулоновскую калибровку, мы получаем удаление временной части и скобку Пуассона только для пространственной части поля и соответствующих сопряженных импульсов. Таким образом, явная ковариация теряется, хотя теория непротиворечива. В этом случае мы должны показать, что наша теория все еще ковариантна, в то время как мы полностью потеряли временную часть.

Посмотреть книги

Майкл и Маджоре

[André_Burnel]_Noncovariant_Gauges_in_Canonical

Вопрос о физической степени свободы в теории Максвелла: почему кулоновская калибровка может исправить все избыточные степени свободы

Анонимный

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь153663

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь153663

Дж. Мюррей

пользователь153663

Дж. Мюррей

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (2)

Прахар

Зохаиб Аарфи

Насколько фундаментальным является условие трансверсальности в КЭД?

Квантование калибровочной теории с минимальной связью

Калибровочная фиксация произвольного поля: внешние и внутренние степени свободы

Почему кулоновская калибровка является возможным выбором?

Калибровочная симметрия массивного векторного поля

Показывает, что калибровочные преобразования Кулона и Лоренца действительно являются действительными калибровочными преобразованиями?

Подсчет степени свободы и калибровка, фиксирующая AμAμA_{\mu} и ψψ\psi в DDD-размерах

Кулоновская калибровка в специальной теории относительности (для КТП)

Эквивалентна ли эта теория КЭД?

Какие именно разделы есть в калибровочных теориях?