Насколько фундаментальным является условие трансверсальности в КЭД?

Векторный потенциал не является калибровочно-инвариантным, и существует множество калибровочных потенциалов, соответствующих одному и тому же физическому электромагнитному полю. Таким образом, когда мы берем интеграл по путям

Способ решить эту проблему состоит в том, чтобы добавить условие фиксации манометра, чтобы каждая конфигурация физического электромагнитного поля учитывалась только один раз. Это делается путем добавления множителя Лагранжа, скажем$\lambda \partial_\mu A^\mu$в ковариантной форме для калибровки Лоренца, или$\lambda \nabla \cdot\mathbf A$для кулоновской калибровки. Конечно, есть и другие варианты для других датчиков.

Сказанное выше обобщается на все калибровочные теории. Ключевые слова, которые следует здесь искать, — гамильтоновы системы с ограничениями и формализм БРСТ. Вот несколько конспектов лекций на примере электродинамики, показывающих, как работать с калибровочными симметриями.

Первый,$\mathbf{k}\cdot\mathbf{A}=0$и$\nabla\cdot\mathbf{A}=0$являются одними и теми же условиями, один в пространстве Фурье, а другой в обычном пространстве.

Сама по себе теория калибровочно инвариантна. Другими словами, уравнения для потенциалов, вытекающие из уравнений Максвелла, калибровочно-инвариантны:

Вы можете проверить, что это инвариантно при$A^\mu \to A^\mu + \partial^\mu \chi$.

Теперь, что вы можете сделать, это выбрать один конкретный датчик. То есть вы накладываете на потенциал какое-то условие. Когда вы делаете это, вы теряете калибровочную инвариантность по той простой причине, что теперь вы работаете в определенной калибровке. Двумя распространенными примерами калибровочных условий являются калибровка Лоренца ($\partial_\mu A^\mu=0$; это хорошо, потому что это инвариант Лоренца) и кулоновская или поперечная калибровка:$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$.

Вы, кажется, тоже немного перепутали слова. Векторное поле (при условии, что вы имеете в виду$\mathbf{A}$или$A^\mu$, то есть потенциалы) не является калибровочно-инвариантным, потому что векторное поле — это именно то, что изменяется, когда вы выполняете калибровочное преобразование. В частности,$A_\perp$не является калибровочно-инвариантным: причина, по которой это важно, заключается в том, что в поперечной калибровке$\mathbf{A}(\mathbf{k})$не имеет компонента, параллельного$\mathbf{k}$(отсюда и название). Что калибровочно-инвариантно, так это само электромагнитное поле, т. е.$F_{\mu\nu}$или электрические и магнитные поля, если хотите. Они построены из потенциалов таким образом, что на них не влияет калибровочное преобразование.

И нет, нет необходимости в том, чтобы что-либо было калибровочно инвариантным, чтобы теория имела смысл. Вы постулируете свои уравнения, и либо они калибровочно-инвариантны, либо нет. В КТП обычно крайне желательно, чтобы теория основывалась на калибровочной симметрии (как в Стандартной модели), но это не обязательно. Слабое взаимодействие, как мы его видим при низких энергиях, не является калибровочно-инвариантным, например: симметрия нарушена.

Простая быстрая реакция, не требующая длинных абзацев, заключается в том, что первое уравнение находится в импульсном пространстве, а другое уравнение — это то же самое уравнение, но в пространственном пространстве, я думаю, строго говоря, в импульсном пространстве условие$k \cdot\epsilon =0$где$\epsilon$— вектор поляризации.

Чтобы ответить на ваш вопрос напрямую, насколько фундаментальным является условие трансверсальности? Сначала обратите внимание, что$A _{\mu}$имеет 4 степени свободы, тогда как на самом деле нам нужно 2. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, мы должны уменьшить количество степеней свободы. Итак, пока вы используете калибровочную теорию (в данном случае абелеву калибровочную теорию), вам нужно будет наложить 2 условия, чтобы уменьшить количество степеней свободы. Но если кто-то найдет способ сделать КЭД без использования четырехвекторного потенциала, то, по-видимому, он уже будет иметь нужное количество степеней свободы, что сделает ненужным навязывание трансверсальности.