Показывает, что калибровочные преобразования Кулона и Лоренца действительно являются действительными калибровочными преобразованиями?

Я работаю над «Введением в электродинамику» Гриффита. Дюйм. 10 вводятся калибровочные преобразования. Автор показывает, что при любом магнитном потенциале А 0 и электрические потенциалы В 0 , мы можем создать новый набор эквивалентных магнитных и электрических потенциалов:

А "=" А 0 + ∇ λ В "=" В 0 − ∂ λ ∂ т .

Эти преобразования определяются как «калибровочное преобразование». Затем автор вводит два из этих преобразований, кулоновскую калибровку и калибровку Лоренца, определяемые соответственно как:

∇ ⋅ А "=" 0 ∇ ⋅ А "=" − мю 0 ϵ 0 ∂ В ∂ т .

Вот тут я в замешательстве. Я не понимаю, как подобрать расхождение А быть любым из этих двух значений фактически представляет собой калибровочное преобразование, поскольку оно удовлетворяет условиям двух верхних уравнений. Откуда мы знаем, что такой λ существует даже для установки дивергенции А к любому из этих значений. Может ли кто-нибудь убедить меня, что такая функция существует для любого преобразования, или как-то показать мне, что эти преобразования действительно являются «калибровочными преобразованиями», как они определены выше.

Ответы (2)

Комментарий к вопросу (v1): кажется, что OP, с одной стороны, объединяет калибровочное преобразование

А ~ мю   "="   А мю + г мю Λ

с, с другой стороны, условием фиксации калибровки , т. е. выбором калибровки, например, калибровки Лоренца, кулоновской калибровки, осевой калибровки, временной калибровки и т. д.

Калибровочное преобразование может, например, происходить между двумя условиями фиксирования калибровки. В более общем случае калибровочные преобразования выполняются по калибровочным орбитам. В идеале условие фиксирования калибровки пересекает все калибровочные орбиты ровно один раз.

С математической точки зрения, в зависимости от топологии пространства-времени, часто возникает нетривиальная проблема, является ли такое условие фиксации калибровки глобально корректным и однозначно определяет калибровочное поле, ср. например, проблема Грибова . Существование и уникальность решений условий фиксирования калибровки является темой нескольких сообщений Phys.SE, см., например, этот и этот сообщения Phys.SE.

+1 за отличные ссылки на связанные вопросы, а также связанные темы - как всегда

Калибровки Кулона и Лоренца — это фиксирующие условия калибровки, а не калибровочные преобразования. Ваш вопрос по-прежнему имеет смысл, но его следует сформулировать примерно так: как вы можете доказать, что для произвольного А 0 и В 0 всегда существует калибровочное преобразование в поля А и В которые удовлетворяют этим условиям? На самом деле всегда существует много таких преобразований (эти условия не фиксируют полностью калибровку).

Для условия кулоновской калибровки нам нужно 0 "=" ∇ ⋅ А "=" ∇ ⋅ ( А 0 + ∇ λ ) "=" ∇ ⋅ А 0 + ∇ 2 λ . Это уравнение Пуассона , которое можно решить относительно λ с функциями Грина. Случай Лоренца проще, если вы используете четырехвекторы, и в этом случае вы получаете 3 + 1-мерную версию уравнения Пуассона.

Для полноты картины, не могли бы вы расширить свой ответ, чтобы более полно охватить калибровку Лоренца?
Показывает, что калибровочные преобразования Кулона и Лоренца действительно являются действительными калибровочными преобразованиями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v