Инвариантность действия против лагранжиана в теореме Нётер?

Нет, они не одинаковы. Чтобы понять, почему даже в классической механике предположим, что у нас есть преобразование симметрии$q \rightarrow q + \epsilon K$что оставляет лагранжев инвариант. Это означает, что мы должны иметь

$$\begin{equation} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon}\left(L(q+\epsilon K, \dot{q}+\epsilon\dot{K},t) - L(q,\dot{q},t)\right) = \frac{\partial L}{\partial q}K +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K} = 0 \end{equation}$$ $Then$вы используете тот факт, что уравнения движения выполняются, чтобы написать $\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L }{\partial \dot{q}}$и это подразумевает $$\begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K\right)=0 \end{equation}$$ т.е. количество $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K$сохраняется.

Симметрия действия — это преобразование, оставляющее действие неизменным независимо от того, выполняются уравнения движения или нет. В этом случае та же процедура дает условие

$$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial q}K + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{K} = \frac{dM}{dt} \end{equation}$$ где $M$является функцией $q, \dot{q}, t$. Если такое M существует, мы говорим, что действие инвариантно относительно преобразования симметрии.

Очень легко увидеть, что, когда мы накладываем уравнения движения, LHS становится$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K\right)$и мы можем вывести сохраняющуюся величину:

$$\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}K - M\right)=0. \end{equation}$$

Простейшим возможным примером преобразования симметрии, которое является симметрией действия, но не лагранжиана, является перенос времени в системах, где лагранжиан не имеет явной зависимости от времени. Когда мы сдвигаем время на произвольную малую$\epsilon$, обобщенные координаты$q$изменить в соответствии с$q(t) \rightarrow q(t) + \epsilon \dot{q}(t)$, поэтому$K=\dot{q}$. Но

$$\begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}\right)=\frac{\partial L }{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\ddot{q}=\frac{dL}{dt}\neq 0 \end{equation}$$ В этом случае $M =L$а сохраняемое количество равно $$\begin{equation} H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L. \end{equation}$$