Катастрофа квантового оператора

Предположим, мы рассматриваем взаимодействие между двумя фермионами.

В ∑ к я , к Дж , к м , к н с к я † с к Дж † с к м с к н дельта к

где дельта к сохраняет импульс. Мы можем напрямую записать несколько слагаемых из суммы

. . . + с к 1 † с к 2 † с к 3 с к 4 ⏟ я "=" 1 , Дж "=" 2 , м "=" 3 , н "=" 4 + с к 2 † с к 1 † с к 3 с к 4 ⏟ я "=" 2 , Дж "=" 1 , м "=" 3 , н "=" 4 + . . .   .

а затем использовать антикоммутаторные соотношения

[ с я , с Дж ] + "=" [ с я † , с Дж † ] + "=" 0

[ с я , с Дж † ] + "=" с я с Дж † + с Дж † с я "=" дельта я Дж

поменять местами первые два оператора во втором слагаемом ( с к 2 † с к 1 † "=" − с к 1 † с к 2 † ) такой, что

. . . + с к 1 † с к 2 † с к 3 с к 4 − с к 1 † с к 2 † с к 3 с к 4 + . . .

суммирование исчезает. Для терминов, которые не исчезают как пары, такие как с к 1 † с к 1 † с к 3 с к 4 мы можем видеть, что из-за антикоммутатора эти члены обращаются в нуль по отдельности.

Теперь, где ошибка?

Ответы (2)

Ошибка в том, что условия взаимодействия не соответствуют тому, что вы написали, что действительно 0 "=" 0 . Вы забыли, что в общем, В зависит от к я , знак ad hoc меняется при обмене аргументами. Когда В считается константой, не суммируется по всем возможным к я , но только подмножество (см., например, взаимодействие BCS).

Обычно взаимодействие также зависит от спинов, так что даже если взаимодействие симметрично по импульсам, оно не обязательно равно нулю.

Я согласен, В обычно является функцией к или разница между к с. Теперь для взаимодействия БКШ мы суммируем только более половины набора возможных к ценности? Поскольку взаимодействие БКШ для с -волна является одним из примеров, когда потенциал взаимодействия В Я думаю, можно предположить, что он симметричен по отношению к обмену импульсами, т.е. В ( к 1 − к 2 ) "=" В ( к 2 − к 1 ) . Означает ли это, что каждый раз, когда у нас есть симметричный потенциал взаимодействия, мы должны ограничивать суммирование подмножеством?
Более того, я думаю, что физически процессы с к 1 † с к 2 † с к 3 с к 4 и с к 2 † с к 1 † с к 3 с к 4 идентичны, и даже к зависимый потенциал взаимодействия В не будет различать эти два.
@DrComando: вы забываете, что при взаимодействии BCS фермионы имеют противоположные спины, поэтому обмен к я не означает, что сумма равна нулю. Я изменил свой ответ соответственно.
Если вы добавите еще одно квантовое число, такое как спин, а также суммируете все конфигурации спина, я думаю, вы столкнетесь с той же проблемой. Общее количество терминов увеличивается, но они по-прежнему всегда идут парами. На самом деле я готов принять ваш первый пункт о сокращенном подмножестве. Это (1) также моя личная идея и (2) может быть эквивалентно двойному счету для нефермионных состояний. Для фермионов двойной подсчет состояний не дает удвоения состояния, а дает 0 из-за антикоммутатора. Чтобы избежать этого, мы не можем просто делить на число, а буквально должны сократить суммирование.
Я думаю, вам просто нужно убедиться на собственном примере, что нет никаких проблем, когда вы принимаете во внимание зависимость потенциала взаимодействия от импульса / спина. Например, кулоновское взаимодействие ∑ с , с ′ ∫ Икс , у В ( | Икс − у | ) ψ с † ( Икс ) ψ с ′ † ( у ) ψ с ′ ( у ) ψ с ( Икс ) , и вы можете убедиться, что проблемы нет ни в реальном пространстве, ни в импульсном пространстве.
Согласен, что примеров, где нет проблем с суммированием, предостаточно. Поэтому мой вопрос касается только примера, который я привел выше. Возможно, вы захотите взглянуть на пары чисел Грассмана или фермионные операторы (например, ф ( к ) "=" с к с − к ) как антисимметричные функции, такие как синус. Всякий раз, когда вы интегрируете синус на симметричном интервале, вы получаете ноль. Кажется, то же самое верно для пар создателей или пар чисел Грассмана. Конечно, учитывая постоянную В .
Что мы можем сделать... если ваша модель предсказывает, что фермионы не взаимодействуют должным образом, то это плохая модель, и вам следует использовать другую.
Да исправить. Фактически математическое описание должно воспроизводить физику. Очевидно, суммирование по всем к значения делает суммирование нулевым. То, что я нашел в своем суммировании, вероятно, является следствием двойного счета для фермионов. Как обычно, следует избегать двойного подсчета, но вместо деления на количество подсчетов мы должны буквально работать с сокращенным подмножеством.

В качестве дополнения к ответу Адама рассмотрим действие сверхтекучего нормального перехода в жидком гелии-4:

Ф "=" ∫ г Икс ( ℏ 2 2 м | ∇ ф ( Икс ) | 2 − мю | ф ( Икс ) | 2 + В 0 2 | ф ( Икс ) | 4 )
Преобразование Фурье последнего члена взаимодействия (который, кстати, исходит из предположения, что контактный потенциал В ( Икс , Икс ′ ) "=" В 0 дельта ( Икс − Икс ′ ) ) дает:
В 0 2 В ∑ К , к , к ′ ф К − к * ф к * ф К − к ′ ф к ′ ,
который, очевидно, не исчезает.

Катастрофа квантового оператора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v